Définitions
Un 'stathme euclidien' est une application g:A-{0}→ℕ qui possède les propriétés suivantes :
- ∀x,y∈A-{0} g(x)≤g(xy)
- ∀x,y∈A-{0}, ∃q,r∈A | y=qx+r et (r=0 ou g(r)<g(x))
Un anneau est dit 'euclidien' s'il est commutatif, unitaire, intègre et s'il possède un stathme.
Exemples
- L'anneau ℤ muni du stathme g(x)=|x| est un anneau euclidien.
- L'anneau des polynômes formels ℝ[X] avec l'application g(P)=degré(P) est un anneau euclidien.
- L'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss (ex 5) avec le stathme g(z)=|z| est un anneau euclidien.
Propriété
Tout anneau euclidien est principal.
Soit I un idéal non trivial de A et soit x∈I un élément de stathme minimal. Il est clair que (x)=Ax⊆I.
Soit maintenant y∈I il existe donc q et r tels que y=qx+r avec r=0 ou g(r)<g(x). Il est clair que r=y-qx est un élément de I. Si r≠0 cela contredit la définition de x, donc r=0, y=qx, y∈(x) et I=(x).