Si H$\vartriangleleft$G et si K<G alors HK=KH, HK est un sous groupe de G. Si de plus K$\vartriangleleft$G alors HK$\vartriangleleft$G
Soit hk∈HK puisque h est distingué alors k-1hk est un élément de H donc k(k-1hk)=kh est un élément de KH, il en résulte que HK⊆KH. On montre de la même manière que KH⊆HK et donc KH=HK. Il suffit maintenant d'appliquer ce théorème pour voir que HK<G. Supposons de plus K$\vartriangleleft$G, alors pour tout x de G x(hk)x-1=h'xx-1k'=h'k'∈HK
Soient H et K deux sous-groupes de G. On suppose K distingué dans G, alors H∩K est distingué dans H et : $$\frac{H}{H\cap K }\cong \frac{HK}{K}$$
∀x∈G et y∈H∩K on a x-1yx∈K d'après l'hypothèse K$\vartriangleleft$G. Mais si x∈H, x-1yx∈H donc x-1yx∈K∩H, ce qui établit le premier point. Considérons l'injection canonique de H dans HK, c'est évidemment un homomorphisme de groupes. Remarquons que K est un sous-groupe distingué de HK du fait même qu'il est distingué dans H. Composons alors avec la surjection canonique HK→HK/K on obtient un homomorphisme surjectif dont le noyau est H∩K.
Soient H et K deux sous-groupes distingués de G tels que K⊆H. Alors H/K$\vartriangleleft$G/K et : $$\frac{G/K}{H/K}\cong G/H$$
Utilisons la surjection canonique π:G→G/K. Il faut montrer que ∀x∈G,h∈H on a π(x)-1π(h)π(x)∈π(H)=H/K . Or π(x)-1π(h)π(x)=π(x-1hx) et x-1hx∈H. Par ailleurs xK→xH donne un homomorphisme surjectif de G/K→G/H dont le noyau est H/K
Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe G tels que K⊆H et K$\vartriangleleft$H. Soit π: G→G/K la surjection canonique. Alors H$\vartriangleleft$K et π(H) est un sous-groupe de G/K qu'on peut identifier à H/K.
La première affirmation est triviale. D'autre part, d'après ce résultat les images directes des sous-groupes sont des sous-groupes. On en déduit que π(H)<G/K. Il est clair que les applications kH→π(h) et π(H)→hK sont réciproques l'une de l'autre. On a donc un isomorphisme entre π(H) et H/K. Cependant on peut considérer H/K comme sous-groupe de G/K en remarquant que la classe hK d'un élément h de H est entièrement contenue dans H et inversement x∉H⇒xK∩H=∅.
Soit f:G→G' un homomorphisme de groupes. Soit H' un sous-groupe distingué de G' et posons H=f-1(H'). Alors par ce résultat que H est un sous-groupe distingué de G. En composant avec la surjection canonique p:G'→G'/H', nous obtenons un morphisme de G dans G'/H' dont le noyau est H. Nous avons donc un morphisme injectif f:G/H→G'/H' donnant un diagramme commutatif:

Si f est surjective alors f est un isomorphisme.
fest injectif car son noyau est H. En outre Im(f)=Im(f) donc f est bien un isomorphisme si f est surjective.