K désigne un corps commutatif.

K[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients dans K.

On dit qu'un polynôme P a 'toutes ses racines dans K' s'il est factorisable, dans K[X] en un produit de facteurs irréductibles du premier degré.
Il y a équivalence entre : Tout polynôme de degré ≥1 possède au moins une racine dans K. Tout polynôme de degré ≥1 possède toutes ses racines dans K.

Montrons que la première condition implique la seconde.

Soit P un polynôme de degré strictement positif. Alors P possède une racine a, donc P est factorisable par (X-a) P=(X-a)Q. Si Q est constant c'est terminé sinon il possède une racine b dans A et on a P=(X-a)(X-b)R, et ainsi de suite on conclut par récurrence descendante.
Si K[X] possède la propriété ci-dessus (tout polynôme de K[X) de degré ≥1 admet au moins une racine dans K) on dit que K est 'algébriquement clos'.

Nous énonçons ci-après le résultat connu sous le nom de "théorème fondamental de l'algèbre" ou encore théorème de "D'Alembert-Gauss". Cependant des démonstrations purement algébriques de ce résultat nécessitent un matériel important (théorie de Galois), alors que celles empruntant des outils à l'analyse sont plus simples.

Le corps ℂ est algébriquement clos.

Soit donc un polynôme à coefficients complexes $P(X)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ avec n≥1 et an≠0.

Nous avons: $\left | P(z) \right |=\left | a_{n} \right |\left | z \right |^{n}\left | 1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}z}+...+\frac{a_{0}}{a_{n}z^{n}} \right |$.

Donc $\left | P(z) \right |\rightarrow +\infty \text{ quand } \left | z \right |\rightarrow +\infty$

Donc $\exists R> 0 \text{ tel que }\left | x \right |> R\Rightarrow \left | P(z) \right |> \left | P(0) \right |+1$.

Or $z\rightarrow \left | P(z) \right |$ est continue sur ℂ et le cercle K fermé de rayon R est un compact. Donc la restriction de $z\rightarrow \left | P(z) \right |$ à K admet une borne inférieure m atteinte en un point z0∈K.

Pour z∉K $\left | P(z) \right |> \left | P(0) \right |+1>\left | P(0) \right |\geqslant m $.

Et pour z∈K $\left | P(z) \right |> m$.

Donc $\forall z\in \mathbb{C} \text{ on a }\left | P(z) \right |\geqslant m$

Par la formule de Taylor il existe des complexes (b0,...,bn) tels que : $P(z_{0}+X)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}X^{i}$.

Avec b0=P(z0) et bn≠0 car d°(P)=n.

Soit $k=min\left \{ j\in \left \{ 1,2,...,n \right \} | b_{j}\neq 0\right \}$ et supposons b0≠0.

Soit ω une racine k-ième quelconque du complexe $-\frac{b_{0}}{b_{k}}$.

On peut donc écrire : $P(z_{0}+\omega t)=b_{0}\left ( 1-t^{k}+t^{k}\epsilon (t) \right )$ où $\lim_{t\rightarrow 0}\epsilon (t)=0$.

Il existe donc $\alpha > 0$ tel que $\left | t \right |< \alpha \Rightarrow \left | \epsilon (t) \right |< 1$.

Prenant t réel avec $0< t< 1 \text{ et } t< \alpha$ on a :

$\left | P(z_{0}+\omega t) \right |\leqslant \left | b_{0} \right | \left ( 1-t^{k}+t^{k}\epsilon (t) \right )<\left | b_{0} \right |=m$

Ce qui contredit : $\forall z\in \mathbb{C} \text{ }\left | P(z) \right |\geqslant m$