$\mathbb{Q}$ désigne le corps des nombres rationnels, et $\mathbb{C}$ le corps des nombres complexes.

K désigne un corps compris entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{C}$.

$$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq \mathbb{C}$$
Un élément z de $\mathbb{C}$ est un 'radical sur K' s'il est racine d'une équation. $$z^{n}=a \text{ avec } a\in K$$
On peut alors définir les éléments 'expressibles par radicaux' par récurrence.

Au premier degré nous considérons tous les radicaux de $\mathbb{Q}$. Il existe évidemment des sous-corps de $\mathbb{C}$ contenant tous ces radicaux, à commencer par $\mathbb{C}$ lui-même.

L'intersection de tous ces sous-corps est encore un sous-corps de $\mathbb{C}$ et c'est évidemment le plus petit sous corps engendré par les radicaux de $\mathbb{Q}$, notons le K1.

Maintenant on construit K2 à partir de K1 comme K1 à partir de $\mathbb{Q}$.

Maintenant on construit Kn+1 à partir de Kn comme K2 à partir de K1.

Une équation, à coefficients a priori rationnels, est dite 'résoluble par radicaux' si ses solutions appartiennent à l'un des Kn.

Il résulte de ces définitions que les équations du premier degré sont évidemment résolubles par radicaux.

Il résulte de cette page que les équations du second degré sont également résolubles par radicaux.

Il résulte de cette page que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux.

Il résulte de cette page que les équations de degré 4 sont résolubles par radicaux.

Il est alors tout à fait naturel de se poser la question de savoir si les équations de degré 5 et plus sont elles-aussi résolubles par radicaux.

Les équations (à coefficients rationnels) sont celles pour lesquelles les solutions peuvent s'exprimer récursivement au moyen des quatre opérations et des radicaux.

La même définition vaut pour les équations à coefficients réels.