Définition

Un groupe G est dit 'résoluble' si, à partir d'un certain rang n on a: Dn(G)={1}.

Cela implique donc, en particulier, que la suite décroissante D0(G)⊇D1(G)⊇ .....⊇Dn(G) est stationnaire.

Remarquons tout de suite que :
Pour un groupe résoluble la suite des sous-groupes Di(G) est strictement décroissante.
En outre :
Un groupe est résoluble ssi son groupe dérivé est résoluble.
En effet Di(G)=Di+1(G)⇒Dj(G)=Di(G) ∀j≥i.

Stabilité de la notion

Cette définition entraîne immédiatement la conséquence suivante :

Si G est résoluble, tout sous-groupe de G est résoluble.

Il suffit pour le voir d'utiliser ce résultat.

La notion de résolubilité passe également aux groupes quotients.

Si G est résoluble et si H est un sous-groupe normal de G, alors G/H est résoluble.
IL suffit d'appliquer ce résultat. et de remarquer que π({1))={1}.

Exemples

  1. Les groupes abéliens sont tous résolubles.
  2. Un groupe simple n'est en général pas résoluble, sauf s'il est commutatif.

Classe de résolubilité

G étant un groupe résoluble on appelle 'classe de résolubilité' de G, le plus petit entier n≥0 tel que Dn(G)={1}.

Donc :

  1. Un groupe est résoluble de classe 0 si et seulement si il est trivial.
  2. Un groupe est résoluble de classe 1 si et seulement si il est commutatif.
  3. Un groupe non trivial dont le dérivé est de classe n est de classe n+1.
Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué (normal) de G. Si G/H est résoluble de classe p et H est résoluble de classe q. G est résoluble de classe ≤p+q.
Soit π l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Nous avons π(Dp(G))=Dp(π(G))= Dp(G/H). Par définition de p, Dp(G/H) = {1}, donc π(Dp(G)) = {1}, c'est-à-dire que Dp(G) ⊆ H. Dès lors, Dq(Dp(G)) ⊆ Dq(H), autrement dit Dp+q(G) ⊆ {1}, donc G est bien résoluble de classe ≤ p + q.
Ce résultat admet le corollaire suivant :
Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G tels que K normalise H (autrement dit, K est contenu dans le normalisateur de H dans G). Si K est résoluble de classe p et H résoluble de classe q, alors le sous-groupe HK de G est résoluble de classe ≤ p + q.
D'après ce théorème, HK/H est isomorphe à un quotient de K et est donc résoluble de classe ≤ p, donc HK est résoluble de classe ≤ p + q d’après le théorème précédent.