Un groupe G est dit 'simple' s'il n'est pas réduit à son élément neutre et s'il ne possède comme sous-groupes normaux (distingués) que les sous-groupes triviaux {1} et G.

Par exemple, les groupes cycliques sont simples.

Mais tout groupe abélien G non trivial et non cyclique n'est pas simple. il suffit de prendre le sous-groupe H engendré par un élément non neutre qui est distinct de {1} et de G (puisque non cyclique). H est normal (cas abélien) et donc G n'est pas simple.

H désigne un sous-groupe 'propre' de G, et nous reprenons la notation QH de cette page.

Sous ces hypothèses, si G est simple, l'action de G sur QH par translations à gauche est fidèle.
On a vu que Ker(γ) est un sous-groupe normal de G contenu dans H. Ker(γ) est donc soit G soit {1}. Mais comme H n'est pas G, la seule possibilité est Ker(γ)={1}, donc une action fidèle par définition.
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G d'indice k≥2. Si |G| ne divise pas k! alors G n'est pas simple.
Comme [G:H]≥2 H est distinct de G. Si G était simple, le noyau Ker(γ) serait réduit à {1}. On aurait donc les isomorphismes G≅G/Ker(γ)≅Im(γ). G serait donc isomorphe à un sous-groupe du groupe S(QH) de toutes les permutations de QH. Donc |G| serait un diviseur de |S(QH)| mais QH est de cardinal k donc |S(QH)|=k!.

Soit maintenant H un sous-groupe propre de G. On peut considérer la restriction à H de l'action de G sur QH. Dans ces conditions :

L'action de H sur QH n'est plus transitive.
Pour tout x de G, l'orbite de xH dans cette action est {hxH|h∈H}. En particulier Ω1H= ΩH={H}. Si l'action était transitive on aurait pour tout x de G xH=H donc x∈H, ce qui contredit H≠G.

Voici maintenant le théorème dit 'de Frobenius' :

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G dont l'indice p=[G:H] est le plus petit diviseur premier de |G|. Alors H est normal dans G.

Considérons l'action de H sur QH par translations à gauche. Comme nous venons de le voir elle n'est pas transitive.

Il existe donc un nombre r≥2 d'orbites distinctes Ωx1H, Ωx2H, ΩxrH. Nous notons qi=|ΩxiH| pour tout 1≤i≤r. Les orbites forment une partition de QH, nous en tirons p=[G:H]=|QH|=q1+q2+...+qr. Chaque qi divise |G|, mais compte tenu de la définition de p si l'un des qi n'est pas 1 il est forcément ≥p. Comme r≥2 il ne peut exister un qi qui n'est pas égal à 1 puisque p=q1+q2+...+qr. On en déduit que chaque qi vaut 1 et que r=p.En d'autres termes pour tout indice i le stabilisateur HxiH est égal à H.

Soit x un élément quelconque de G. D'après nos hypothèses, il existe donc un unique indice i tel que ΩxH=ΩxiH. Mais d'après ce théorème, les stabilisateurs Hx et Hxi sont conjugués dans H (le groupe qui opère ici est H). Il existe donc h∈H tel que HxH=hHxiHh-1. Or on vient de voir que HxiH=H. Donc HxH=hHh-1=H. Ainsi tout h∈H vérifie h.xH=xH, c'est à dire x-1hx∈H ou encore h∈xHx-1. Ceci prouve que H⊆xHx-1

On en déduit encore que pour tout x∈G x-1Hx⊆x-1(xHx-1)x=H, donc en définitive H=xHx-1 et H est distingué dans G.

En particulier pour p=2, qui est le plus petit nombre premier dans l'absolu, on trouve ce résultat.
Tout sous-groupe d'indice 2 est normal.