A désigne toujours un anneau commutatif unitaire intègre.
Soit S une série formelle de A[[X]]. On suppose que l'ordre de S vérifie ord(S)≥1.
Soit également T une série formelle de A[[X]], sur laquelle on ne formule aucune hypothèse particulière.
$$T=\sum_{n\geqslant 0}b_{n}X^{n}$$ Dans ces conditions pour tout n∈ℕ $b_{n}S^{n}$ est une série formelle de A[[X]], et nous affirmons que :La famille $(b_{n}S^{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable.
IL suffit de remarquer que puisque ord(S)≥1 on a ord(Sn)≥n en vertu de ce théorème.
De plus on a également ord(bnSn)≥n.
Il en résulte que la famille $(b_{n}S^{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable en appliquant ce résultat.Les hypothèses étant celles du théorème précédent la somme S de famille sommable $(b_{n}S^{n})_{n\in \mathbb{N}}$ se nomme la 'composée' de T avec S et se note $T\circ S$.
Donc, avec nos notations antérieures :
$$T\circ S=\sum_{n\geqslant 0}b_{n}S^{n}$$
S étant comme ci-dessus et T1,T2 deux séries formelles, on a les propriétés suivantes :
- $\left ( T_{1}+T_{2} \right )\circ S=T_{1}\circ S +T_{2}\circ S$
- $\left ( T_{1}T_{2} \right )\circ S=(T_{1}\circ S)( T_{2}\circ S)$
- Pour tout $\lambda \in A$ $\lambda \circ S=\lambda $
Soient S,T et U dans A[[X]] avec ord(S)≥1 et ord(T)≥1 (donc ord(ST)≥1 aussi).
Alors $(U\circ T)\circ S=U\circ (T\circ S)$.
Il s'agit donc d'une propriété d'associativité de la composition.