Soit M un A-module. Une partie N de M est appelée un 'sous-module' de M ssi :
- N est un sous-groupe additif de (M,+)
- N est stable pour la loi externe, c'est à dire ∀x∈N et ∀λ∈A λx∈N
Naturellement si A est un corps et si M est un espace-vectoriel, tout sous-module s'appelle 'sous-espace vectoriel'.
Le critère suivant peut parfois être utile :
Une condition nécessaire et suffisante pour que N⊆M, non vide soit un sous-module du A-module M est que :
∀x,y∈N et ∀λ,μ ∈A λx+μy∈N .
La condition est évidemment nécessaire.
Réciproquement en utilisant la propriété avec λ=μ=1 on obtient la stabilité pour l'addition.
Avec λ=-1 et μ=0 on obtient la stabilité par passage à l'opposé.
Avec λ quelconque et μ nul on obtient le second axiome des sous-modules.
Une condition nécessaire et suffisante pour que N⊆M, non vide soit un sous-module du A-module M est que :
∀x,y∈N et ∀λ ∈A λx+y∈N.
En effet avec λ=1 on obtient la stabilité pour l'addition.
Avec λ=-1 et y=0 on obtient la stabilité pour le passage à l'opposé.
Avec λ quelconque et y=0 on obtient le second axiome des sous-modules.
Tout sous-module d'un A-module devient à son tour un A-module avec les structures induites.
Tout sous-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel devient à son tour un K-espace vectoriel.