Structure de A-module

A désigne, comme dans tout ce chapitre, un anneau commutatif unitaire.

On suppose connue la définition des polynômes en les indéterminées (Xi)i∈I.

Cette définition confère immédiatement à cet ensemble une structure de A-module, sous A-module de l'ensemble de toutes les applications de ℕ(I) dans A.

Produit de convolution

Quelques petites remarques pour commencer.
La somme dans ℕI de deux éléments de ℕ(I) est encore un élément de ℕ(I).

Maintenant si P et Q sont des polynômes en les variables (Xi)i∈I on a P=P(α) et Q=Q(α), P et Q étant des fonctions à support fini.

Si P(α)≠0 nous écrirons α∈DP. Pour chaque α nous considérons tous les couples (α';α") tels que :

Nous désignons leur ensemble par DPQ(α).

Alors DPQ(α) est un ensemble fini, puisque DP et DQ le sont.
Les α tels que DPQ(α)≠∅ sont en nombre fini. Nous notons leur ensemble DPQ.
C'est parce que l'ensemble J des α' tels que P(α')≠0 est un sous ensemble fini de I, de même que l'ensemble K des α" tels que Q(α")≠0.
Soit alors la fonction PQ à support fini définie par :
  • PQ(α)=0 si α≠DPQ
  • $PQ(\alpha )=\sum_{(\alpha ',\alpha ")\in D_{PQ}(\alpha ) }P(\alpha ')Q(\alpha ")$ si α∈DPQ

est un polynôme en les variables (Xi)i∈I.

PQ se nomme le 'produit de convolution' ou encore 'produit de Cauchy' de P par Q.
Il est tout à fait clair sur cette définition que ce produit est commutatif et possède un élément neutre. Cet élément neutre est défini par le polynôme :

On peut démontrer, ce n'est pas difficile mais c'est pénible à écrire à cause de la lourdeur des notations que :

Marc Sage, dans le document cité en référence, s'y colle avec courage et succès. Nous invitons le lecteur intéressé par le détail de ces démonstrations à consulter ce document.

En conclusion : A(ℕ(I)) avec le produit de convolution devient un anneau commutatif unitaire en sus de sa structure de A-module. Nous avons donc affaire, comme dans les cas d'une seule indéterminée, ou de n indéterminées à une structure d'A-algèbre.