Tous les modules considérés sont définis sur un anneau commutatif unitaire.

Nous avons une première caractérisation des homomorphismes par leur comportement vis à vis des combinaisons linéaires.

M et N étant deux modules sur un même anneau A, (ai)1≤i≤n, une famille finie quelconque d'éléments de M, une condition nécessaire et suffisante pour que h:M→N soit un homomorphisme de A-modules est que pour tout vecteur x de M combinaison linéaire des ai, $x=\sum_{i=1}^{n }\lambda _{i}a_{i}$ on ait $h(x)=\sum_{i=1}^{n }\lambda _{i}h(a_{i})$.

La condition est nécessaire. Cela se démontre facilement par récurrence sur n.

La condition est suffisante. Le premier axiome s'obtient en prenant n=2 et λ1=λ2=1, le second axiome s'obtient en prenant n=1 et λ1 quelconque.

L'image directe d'un sous-module du module source par un homomorphisme est un sous-module du module but. Si h:M→N est un homomorphisme de modules et si M' est un sous-module de M alors h(M') est un sous-module de N.

f(M') est non vide puisque f(0)=0.

Soient y et y' appartenant à h(M') alors il existe des éléments x et x' de M' tels que y=h(x) et y'=h(x'). y+y'=h(x)+h(x')=h(x+x'). Nous avons donc stabilité pour l'addition. En outre -y=-h(x)=h(-x) ; nous avons donc aussi stabilité pour le passage à l'opposé. En conclusion h(M') est un sous-groupe de (N,+).

En outre λy=λh(x)=h(λx) est un élément de f(M') il y a donc stabilité pour la loi externe et h(M') est un sous-module de N comme annoncé.
L'image réciproque d'un sous-module du module but par un homomorphisme de modules est encore un sous-module du module source. Si h:M→N est un homomorphisme de modules et si N' est un sous-module de N alors h-1(N') est un sous-module de M.

Soient x et x' dans h-1(N'), alors il existe y et y' dans N' tels que h(x)=y et h(y')=x'. Alors h(x+x')=h(x)+h(x')=y+y' est un élément de N' donc x+x' appartient à h-1(N').

h(λx)=λh(x)=λy∈N'. Il y a donc stabilité pour la multiplication par un scalaire et h-1(N') est un sous-module de M.
La composée de deux applications linéaires (morphismes) reste une application linéaire. Plus précisément si h:M→N et g:N→P sont des morphismes de A-modules, l'application g$\circ$h:M→P est encore un morphisme de A-modules.

On sait déjà que g$\circ$h est un homomorphisme de groupes de (M,+) dans (P,+) (revoir ce résultat).

g$\circ$h(λx)=g(h(λx)=g(λh(x))=λg(h(x)), ce qui achève la démonstration.

Soient M et N deux A-modules et f:M→N un morphisme de A-modules. Alors f est un isomorphisme si et seulement si il existe un morphisme g:N→M de A-modules tels que f◦g = IdN et g◦f = IdM . On note f−1 l’application réciproque g de f .

Supposons que f soit un isomorphisme et soit g l'application réciproque de f. Il faut montrer que g est un homomorphisme. Calculons g(y+y') où y et y' sont deux éléments quelconques de N. Alors y=f(x) et y'=f(x') car f est surjective. Donc g(y+y')=g(f(x)+f(x'))=g(f(x+x')=x+x'=g(y)+g(y'). On montre de la même façon que g(λy)=λg(y).

La réciproque est évidente.
Il résulte des deux théorèmes précédents que :
L'ensemble des automorphismes d'un A-module M avec la loi de composition est un groupe (en général non commutatif) noté Aut(M).
Soit M et N deux A-modules. On note HomA(M,N) l’ensemble des morphismes de A-modules de M dans N . Alors, HomA(M,N)
  • l’addition de fonctions, si (f,g) ∈ HomA(M,N)2 alors f + g est le morphisme M → N x→f(x)+g(x)
  • a loi externe, si λ∈A et f∈ HomA(M,N ), alors λf est le morphisme M→N x→λf(x)

    • La vérification est immédiate.

    Considérons maintenant l'ensemble HomA(M,M)=EndA(M) des endomorphismes de M. D'après ce qui précède il est muni d'un structure de A-module. Mais nous avons vu aussi que la composition est une loi interne puisque la composée de deux endomorphismes de A-modules est encore un endomorphisme. Nous affirmons maintenant que :

    EndA(M)(+,$\circ$) est muni d'une structure d'anneau unitaire (non commutatif).

    L'unité est évidemment l'application identique. La seule chose à montrer est la distributivité de $\circ$ sur +.

    Calculons f$\circ$(g+h)(x).

    Par définition c'est f((g+h)(x))=f(g(x)+g(x))=f(g(x)+f(h(x)=f$\circ$g(x)+f$\circ$h(x).

    On résume tout cela en disant que EndA(M) est muni d'une structure de 'A-algèbre'