A désigne, comme dans tout ce chapitre, un anneau commutatif unitaire.
On suppose connue la définition des polynômes en les indéterminées (Xi)i∈I, et ses propriétés algébriques.
Définition des indéterminées
Dans l'anneau des polynômes A[(Xi)i∈I] on désigne par δi l'élément de ℕ(I) identiquement nul sauf pour la composante d'indice i (l'image de i) qui est égale à 1 (l'entier 1 de ℕ). Xi désigne l'application de A(ℕ(I)) identiquement nulle sauf pour δi auquel la valeur est 1A (l'unité de A). Xi est donc un polynôme particulier de A(ℕ(I)).
Il résulte immédiatement de la définition du produit de convolution et de celle ci-dessus que :
Pour i≠j Xi et Xj commutent.
Et de plus, pour n entier naturel, Xin est l'application qui à nδi associe 1A et identiquement nulle ailleurs.
Il suit de ces deux résultats que :
Si α=(αi)i∈I est un élément de ℕ(I), les entiers αi sont tous nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux et l'écriture $\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _i}$ a un sens. C'est l'élément de A(ℕ(I)) qui vaut 1A sur α et 0 partout ailleurs.
Et on a encore comme conséquence :
si P=(aα)α∈ℕ(I) est une famille à support fini d'éléments de A, donc un polynôme en les (Xi)i∈I, l'écriture
$\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(I)}}a_{\alpha }\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _{i}}$ a un sens et désigne un polynôme en les indéterminées (Xi)i∈I prenant la valeur aα pour chaque α c'est donc le polynôme P.
Écriture canonique
Donc à partir de maintenant, à l'instar des polynômes à un nombre fini de variables, et compte tenu de ce qui précède, nous écrirons systématiquement tout polynôme à une infinité d'indéterminées indexées par I sous la forme d'une somme de monômes :
$$P=\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(I)}}a_{\alpha }\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _{i}}$$Nous appelons cette écriture la 'forme canonique' de P.
Nous rappelons que dans l'écriture ci-dessus la somme est en fait finie car un polynôme est à support fini, et pour chaque terme de la somme le produit est également fini car le domaine de définition d'un polynôme est formé d'éléments eux-mêmes à support fini.