Règles simples

1. Pour tout x élément d'un anneau A on a 0.x=x.0=0

   en effet x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 Donc en soustrayant x.0 aux deux membres on obtient x.0=0. idem pour 0.x.

2. Pour tout couple (x,y)∈A×A (-x)y=x(-y)=-xy

   En effet x(y-y)=x.y+x.(-y)=x.0=0 d'où x.(-y)=-xy. Idem pour (-x)y.

   On en déduit en particulier (-x)(-y)=-x.(-y)= -(-xy)=xy

3. Pour tout élément x de A et tout couple (m,n) d'entiers relatifs (x^m)(xⁿ)=x^m+n.

   C'est une évidence, compte tenu de la définition des puissances

4. Pour tout élément x de A et tout couple (m,n) d'entiers relatifs mx+nx=(m+n)x.

   C'est une évidence compte tenu de la définition des multiples

5. Pour tout entier n et tout x élément de A nx=(n1).x=x.(n1).

   Cela résulte immédiatement de la définition des multiples et de la distributivité de la multiplication sur l'addition dans A.

Identités remarquables

1. Si x et y sont deux élément d'un anneau A qui commutent:

   $$\left ( x+y \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}y^{n-k}$$

   Cette formule est connue sous le nom du 'binôme de Newton' ici :

   $$C_{n}^{k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

2. Remplaçant y par -y et utilisant la relation simple n°2 dans la formule ci-dessus, il vient :

   $$\left ( x-y \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^{n-k}x^{k}y^{n-k}$$

3. Toujours avec l'hypothèse que x et y commutent, n étant un entier positif :

   $$x^{n}-y^{n}=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$$

   Il suffit pour le voir de développer le membre de droite par distributivité et de constater des annulations deux à deux sauf pour les extrêmes.

4. En particulier, en faisant x=1 dans la formule ci-dessus.

   $$1-y^{n}=(1-y)\sum_{k=0}^{n-1}y^{k}$$

Eléments nilpotents

Il résulte de la définition qu'un anneau où existe un élément nilpotent non nul ne peut être intègre.

Pour un exemple d'élément nilpotent reprenons l'exemple 9. Toute matrice du type $\begin{pmatrix}0 &a \\0 &0\end{pmatrix}$ est nilpotente car son carré est nul.

Supposons maintenant que y soit un élément nilpotent d'un anneau A de puissance n-ième nulle. Sous ces hypothèses la formule 4. ci-dessus devient :

$$1=(1-y)\sum_{k=0}^{n-1}y^{k}$$

On voit donc que dans ce cas 1-y est inversible et que :

$$(1-y)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}y^{k}$$ En outre si (a_n)_n∈ℕ est une suite infinie d'éléments de A. L'expression $\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}y^{k}$ a toujours un sens si y est nilpotent de puissance n-ième nulle et vaut $\sum_{k=0}^{n-1 }a_{k}y^{k}$. Il n'y a aucun problème de convergence ici.