Dans cette page tous les anneaux considérés sont supposés commutatifs et unitaires.

Nous allons nous intéresser à la possibilité de factoriser tout élément de A en un produit d'éléments irréductibles, et à l'unicité de cette décomposition dans un sens à préciser.

Nous rappelons la relation d'association entre éléments de A qui est une relation d'équivalence que nous noterons x∼y.
Nous dirons qu'il y a 'unicité' de la décomposition en produit d'irréductibles, si on a la propriété suivante :

Quels que soient les irréductibles p1,p2,...,pr, q1,q2,...,qs :

p1p2...pr=q1q2...qs ⇒ (r=s et ∃σ∈Sn telle que qi∼pσ(i) ∀1≤i≤r)

Nous pouvons améliorer un peu cette définition.

Soit l'ensemble quotient A/∼ dont les éléments sont les classes d'élément associés.

Choisissons un ensemble de représentants P des éléments irréductibles de A. Autrement dit P⊆A est formé d'irréductibles et pour tout élément irréductible q de A il existe un élément p de P tel que q∼p.

Indexons maintenant l'ensemble P P={pi|i∈I}

Cela fait, tout produit d'irréductibles x dans A peut s'écrire sous la forme :

$$x=a\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{r_{i}}$$

où a est une unité de A et où les ri sont des entiers naturels presque tous nuls (tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux).

Sous forme plus concise :

$$\left ( x_{i} \right )_{i\in I}\in \mathbb{N}^{(I)}$$

$\mathbb{N}^{(I)}$ désigne ici l'ensemble des applications de I dans ℤ nulles sauf pour un nombre fini de valeurs de I, c'est une notation standard.

Avec ces conventions on voit que l'unicité (éventuelle) de la décomposition en facteurs irréductibles peut être reformulée ainsi.

$$\forall a,b\in A^{\times }, \forall \left ( r_{i} \right )_{i\in I},\forall \left ( s_{i} \right )_{i\in I}\in \mathbb{N}^{(I)} a\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{r_{i}}=b\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{s_{i}}\Rightarrow a=b\text{ et } \forall i\in I \text{ }r_{i}=s_{i}$$

Avec ces conventions, nous avons le résultat suivant :

Soit A un anneau intègre. On suppose que tout élément non nul et non inversible de A est produit d’éléments irréductibles. Pour qu’il y ait dans A unicité de la décomposition en produit d’irréductibles, il faut, et il suffit, que tout irréductible de A soit premier.

Supposons d'abord que tout irréductible de A soit premier.

Supposons, avec les notations ci-dessus que :

$$a\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{r_{i}}=b\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{s_{i}}$$

Posons r'i=ri-min(ri,si) et s'i=si-min(ri,si)

Nous allons montrer que tous les r'i et s'i sont nuls. Il en résultera que ri=si et a=b.

Pour cela on divise l'égalité ci-dessus par $\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{min(r_{i},s_{i})}$ , ce qui nous donne :

$$a\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{r'_{i}}=b\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{s'_{i}}$$

Si, par exemple r'i≠0, alors pi divise le membre de gauche, donc le membre de droite, donc l'un des $p_{j}^{s'_{j}}$ puisqu'il est premier par hypothèse. Mais c'est impossible pour j≠i et aussi pour i=j car s'i=0

Supposons, réciproquement, qu'il y ait dans A unicité de la décomposition en facteurs irréductibles. Soit p un irréductible et soient a,b,c∈A tels que pc=ab.

Si a est inversible alors p divise b et réciproquement si b est inversible alors p divise a. Si ni a ni b ne sont inversibles, alors ils sont par hypothèse produits d'irréductibles. a=p1p2....pr b=q1q2...qs.

De la décomposition de c en produit d'irréductibles, de l'égalité n=pc=p1p2....prq1q2...qs et de l'unicité de la décomposition de n on déduit que p est associé à l'un des pi ou à l'un des qj, donc qu'il divise a ou b.
Un anneau est dit 'factoriel' si tout élément non nul et non inversible de A est produit d'irréductibles et si la décomposition en produit d'irréductibles est unique .

Il résulte de cette définition et de ce qui précède que :

Si A est factoriel et si P est un ensemble de représentants de ses éléments irréductibles, tout élément non nul de A admet une écriture unique $$a\prod_{i\in I}^{ }p_{i}^{r_{i}}$$ où a∈A× et $\left ( r_{i} \right )_{i\in I}\in \mathbb{N}^{(I)}$

Un exemple d'anneau non factoriel :

Dans ℤ[i√3 ] 4 = 2 × 2 = (1 + i.√ 3 ) × (1 − i.√ 3 )