L'anneau ℤ
Les éléments inversibles de ℤ sont -1 et +1. Deux nombres sont associés quand ils sont égaux ou opposés. Les éléments irréductibles (et premiers) sont les entiers naturels premiers et leurs opposés. On peut prendre pour ensemble P, les entiers premiers positifs. Moyennant quoi on a une décomposition unique de tout élément non nul de ℤ
Les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps
On suppose connues les notions de base concernant les anneaux K[X] de polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K. On peut prendre pour ensemble P l'ensemble des polynômes irréductibles 'moniques' c'est à dire dont le coefficient dominant est égal à 1. Moyennant quoi on a un théorème de décomposition de tout polynôme non nul avec unicité de la décomposition.
Les anneaux principaux
En fait les deux exemples précédents, cités, parce qu'ils sont classiques, sont des cas particuliers d'un résultat général important que nous allons démontrer.Soit A un anneau principal. Supposons qu'il existe dans A des éléments non nuls, non inversibles et qui ne soient produits d'irréductibles.
Soit $\mathfrak{F}$ l'ensemble des idéaux principaux Ax engendré par de tels éléments x.
D'après ce résultat $\mathfrak{F}$ possède un élément maximal I=Aa.
a n'est donc ni nul ni inversible. a n'est pas irréductible on plus car il serait produit d'irréductibles et alors Aa ne serait pas élément de $\mathfrak{F}$.
On a donc a=bc avec b,c ni nuls ni inversibles.
Les idéaux Ab et Ac contiennent Aa, puisque b et c divisent a.
Les idéaux Ab et Ac ne sont donc pas éléments de $\mathfrak{F}$ par maximalité de Aa dans $\mathfrak{F}$. donc b et c sont produits d'irréductibles donc a=bc aussi, d'où une contradiction.
On a donc démontré que tout élément non nul et non inversible est produit d'éléments irréductibles.
Pour l'unicité de la décomposition, compte tenu de ce résultat. Il suffit de démontrer que tout irréductible de A est premier, mais c'est déjà démontré ici.