Relativité de la notion

On notera bien que la définition de la normalité de H sous-groupe de G met en jeu aussi bien H que G. Elle peut s'exprimer en disant que H est stable par les automorphismes intérieurs associés aux éléments de G. Cela ne signifie pas que, dans le cas où G est lui-même un sous-groupe d'un groupe G', H soit stable par les automorphismes x:→ sxs-1 pour s∈G' !!!

Ainsi H peut être distingué en tant que sous-groupe de G sans pour autant être distingué en tant que sous-groupe de G'. C'est pourquoi il faut toujours préciser H distingué dans G si on est dans une situation de groupes 'empilés'.

Voyons un exemple de cette situation :

Soit S4 le groupe symétrique (ex n°7) d'ordre 4, c'est à dire le groupe des 24 permutations de {1,2,3,4}.

A4 désigne le groupe alterné d'ordre 4, donc sous-groupe de S4 (cf ex 11)

  1. On désigne par V l'ensemble {e,a,b,c}, dont on vérifiera que c'est un sous-groupe de A4 et de S4(Vierergruppe de Klein).
  2. On désigne par H l'ensemble {e,a} dont on vérifiera que c'est un sous-groupe de V, A4 et S4.

Le lecteur vérifiera que H est distingué dans V, mais n'est pas distingué dans S4.

Non transitivité

Reprenons l'exemple ci-dessus. Nous voyons que H est distingué dans V, que V est distingué dans D4, lequel est distingué dans S4.
Ainsi la relation '... est distingué dans ...' n'est pas transitive au sens des relations binaires.

Sous-groupes caractéristiques

Nous examinons maintenant une relation plus forte que la normalité.

H sous-groupe de G est dit 'caractéristique' s'il est stable par tout automorphisme de G (et non seulement par les automorphismes intérieurs).

Quelques exemples

  1. Les sous-groupes triviaux sont donc évidemment caractéristiques.
  2. Dans un groupe abéliens tous les sous-groupes sont caractéristiques.
  3. Si dans un groupe un sous-groupe est seul de son ordre, alors il est caractéristique (car les automorphismes conservent l'ordre).
  4. Tout sous-groupe de Sylow distingué d'un groupe fini est caractéristique (en vertu de la remarque précédente).

Groupes de Dedekind

Un groupe est dit 'de Dedekind' si tous ses sous-groupes sont distingués.

Exemples

  1. Les groupes abéliens sont évidemment de Dedekind.
  2. Le groupe des quaternions d'ordre 8 :
    × 1 i j k -1 -i -j -k
    1 1 i j k -1 -i -j -k
    i i -1 k -j -i 1 -k j
    j j -k -1 i -j k 1 -i
    k k j -i -1 -k -j i 1
    -1 -1 -i -j -k 1 i j k
    -i -i 1 -k j i -1 k -j
    -j -j k 1 -i j -k -1 i
    -k -k -j i 1 k j -i -1
    est un exemple de groupe de Dedekind non commutatif. Le lecteur pourra le vérifier à titre d'exercice.