Soit G un groupe fini de cardinal n=pα.m où m est premier avec p, de sorte que pα est la plus forte puissance de p divisant n. Tout sous-groupe H de cardinal pα est appelé un 'p-groupe de Sylow', ou plus simplement un 'p-sylow', de G.
Il résulte de la définition que les p-sylow sont en particulier des p-groupes et que les résultats de cette page leur sont applicables.

Nous donnons tout de suite un exemple important de p-sylow.

Nous désignons par Fp le corps ℤ/pℤ (p entier premier). Nous prenons pour G le groupe linéaire de Fpn, c'est à dire l'ensemble des matrices carrées inversibles d'ordre n à coefficients dans Fp, avec l'opération de multiplication. Nous avons déjà vu que nous avons une structure de groupe (exemple n°9 de cette page). Dans ces conditions :
$$\left | G \right |=m.p^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ où m est un entier non nul

Construisons une matrice de G. On peut prendre pour première colonne n'importe laquelle pourvu qu'elle soit non nulle. Le nombre des possibilité est donc pn-1.

Pour la seconde colonne on peut prendre n'importe qui sauf un multiple de la première. Le nombre des possibilités est donc pn-p.

Pour la troisième colonne on peut prendre n'importe quoi sauf une combinaison linéaire des deux premières lesquelles sont en nombre p2. Donc au total pn-p2.

Et ainsi de suite pour la k-ième colonne le nombre de choix possibles est pn-pk-1.

Le nombre total des possibilités est donc :

$$\left | G \right |=\left ( p^{n}-1 \right )\left ( p^{n}-p \right )\left ( p^{n}-p^{2} \right )...\left ( p^{n}-p^{n-1} \right )$$

Soit encore :

$$\left | G \right |=\left ( p^{n}-1 \right )p.p^{2}....p^{n-1}=m.p^{\frac{n(n-1)}{2}}$$
Soit maintenant H le sous-ensemble de G formé des matrices triangulaires supérieures ne comportant que des 1 sur la diagonale. Alors nous affirmons que :
H est un p-sylow de G.

Tout d'abord il est clair que toute matrice de H est de déterminant 1, elle est donc inversible, c'est donc un élément de G. En outre H contient l'unité de G qui est la matrice identité. H est évidemment stable par multiplication. H est donc un sous-groupe de G.

Maintenant, pour construire une matrice de H nous plaçons des 1 sur toute la diagonale et ensuite n'importe quels éléments dans le triangle supérieur situé strictement au dessus de cette diagonale. Ce triangle comporte n(n-1)/2 coefficients, chacun pouvant contenir un élément de Fp Le nombre des possibilités est donc $p^{\frac{n(n-1)}{2}}$. Or le coefficient m trouvé précédemment est pn-1, il n'est donc certainement pas divisible par p.

Nous donnons maintenant un lemme qui sera utile par la suite :

Soit G un groupe de cardinal n. p un diviseur premier de n tel que n=m.pα où p ne divise pas m. Soit H un sous-groupe de G et S un p-sylow de G. Alors il existe g∈G tel que gSg-1∩H soit un p-sylow de H.

Soit G/S l'ensemble des classes à gauche de G modulo S, c'est à dire les ensembles de la forme aS. Nous avons déjà vu ici que G opère sur G/S.

Nous avons vu ici que le stabilisateur de aS pour cette action est aSa-1.

H agit sur G/S par restriction de l'action de G, le stabilisateur de aS pour cette action est donc aSa-1∩H.

S étant un p-sylow de G |S|=pα. Comme aSa-1 est un sous-groupe conjugué de S, il a même cardinal que S. De plus, comme H est un sous-groupe de G, son cardinal est, d'après le théorème de Lagrange un diviseur de l'ordre de G donc de la forme m'pα' où m' divise m et α'≤α.L'intersection de deux sous-groupes d'un même groupe reste un sous-groupe de ce même groupe, donc aSa-1∩H est un sous-groupe de G. C'est de plus un sous-groupe de H et de aSa-1 qui a même cardinal que S. Son cardinal, toujours d'après Lagrange divise donc pα et m'pα', il est donc de la forme pα" où α" (qui dépend de a) est inférieur ou égal à α et à α'.

Supposons maintenant que pour tout a∈G α"(a)<α', ce qui revient à dire que aSa-1∩H n'est jamais un p-sylow de H.

Alors l'orbite ΩaS par l'action de H vérifie |ΩaS|=|H|/|Stab(aS)| et Stab(aS)=aSa-1∩H. Comme pour tout a∈G on a supposé α"(a)<α' alors p divise |ΩAs| et ce quel que soit a. Mais les orbites des classes aS forment une partition de G/S, mais ceci est impossible puisque |G/S|=m non divisible par p. Nous avons donc une contradiction.

De ce lemme nous déduisons immédiatement un autre lemme :
Dans les hypothèses du lemme précédent, si nous supposons de plus que H est un p-groupe, alors H est inclus dans un conjugué de S.
En effet soit g comme dans l'énoncé précédent. Tout p-sylow d'un p-groupe est évidemment égal à ce groupe. Donc gSg-1∩H, étant un p-sylow de H est égal à H. D'où H⊆gSg-1.