Soit A un anneau (supposé commutatif et unitaire). Soient M et N deux A-modules.
Un 'morphisme' ou 'homomorphisme' ou 'application linéaire' de M dans N consiste en la donnée d'une application h:M→N possédant les propriétés suivantes :
Comme dans le cas des groupes et des anneaux :
- h est un homomorphisme de groupes de (M,+) dans (N,+).
- h(λx)=λh(x) ∀λ∈A et ∀x∈M.
Un morphisme de M dans M est appelé un 'endomorphisme' de M.
Toujours comme dans le cas des groupes et des anneaux :
Un morphisme bijectif de M dans N est appelé un 'isomorphisme' de modules.
De la même façon :
Un 'automorphisme' de M est un endomorphisme bijectif, donc un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme.
Si le module d'arrivée est l'anneau A avec sa structure évidente d'A-module, un homomorphisme de M dans A s'appelle une 'forme linéaire' sur M.