Définitions

K désigne un corps commutatif.

K[X1,...,Xn] désigne l'anneau des polynômes à n indéterminées à coefficients dans K. P désigne un polynôme de K[X1,...,Xn].

Le "degré de P relativement à l'indéterminée Xk" est le degré de P considéré comme polynôme à une indéterminée de (K[X1,..,Xk-1,Xk+1,..,Xn])[Xk].Nous noterons ce degré partiel d°k(P) ou d°Xk(P).
Le 'degré total' d'un monôme $P=a_{(i_1,i_2,...,i_n)}X^{i_1}X^{i_2}....X^{i_n}$ est l'entier $i_1+i_2+...+i_n$. C'est donc la somme de ses degrés partiels par rapport à chacune des indéterminées.
Le 'degré total' d'un polynôme non nul est le maximum des degrés totaux des monômes dont il est la somme.

Donc si $P=P(X_1,...,X_n)=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=k_1 ,...,i_n=k_n }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$, $\text {degré}(P)= Sup_{(i_1,i_2,...,i_n)}\left ( i_1+i_2+...+i_n \right )$.

Comme dans le cas d'une variable, on convient que le degré total et les degrés partiels du polynôme nul sont -∞.

Ordre lexicographique des multi-degrés

L'ensemble des multi-degrés (α1, …, αn) des monômes unitaires X1α1....Xnαn est égal à $\mathbb{N}$n, qu'on peut ordonner par l'ordre 'lexicographique' :

par définition,

(α1,...,αn) ≥ (β1,...,βn) si, arrivé au premier i tel que αi ≠ βi, on a αi ≥ βi.

Cet ordre pourra être utilisé dans certaines démonstrations par récurrence.

Propriétés

Ces définitions étant posées, comme dans le cas d'une indéterminée, nous avons les résultats suivants, valables parce que K étant un corps, est en particulier un anneau intègre.

Pour les degrés partiels :

Pour tout couple de polynômes (P,Q) à n indéterminées :
  • d°k(P+Q)≤ Sup(d°k(P),d°k(Q))
  • d°k(PQ)=d°k(P)+d°k(Q)

Pour les degrés totaux :

Pour tout couple de polynômes (P,Q) à n indéterminées :
  • d°(P+Q)≤ Sup(d°(P),d°(Q))
  • d°(PQ)=d°(P)+d°(Q)

Nous terminons par deux nouvelles définitions :

Un polynôme P est dit 'homogène de degré d' s'il est somme de monômes tous de degré d.

Dans l'expression d'un polynôme à plusieurs variables comme somme de monômes on peut regrouper les monômes de degré total donné.

Un polynôme de degré total d d'écrit alors P=P0+P1+....+Pd où chaque Pk est nul ou homogène de degré k au sens précédent. Cette décomposition est unique comme est unique la décomposition en somme de monômes.
Chaque Pk est alors la 'composante homogène' de degré k de P.

Voici une application avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :