C'est une généralisation pour les polynômes à n indéterminées de la formule de Taylor déjà vue pour les polynômes à une indéterminée.
K désigne un corps commutatif de caractéristique 0. Ceci sous-entend en particulier que K contient un sous-corps isomorphe à ℚ et que tout entier non nul est inversible dans K.
Cas de deux indéterminées
a et b étant deux éléments de K et P appartenant à K[X,Y], on a l'égalité suivante :
$P(X,Y)=\sum_{i\geqslant 0,j\geqslant 0}\frac{1}{i!j!}\frac{\partial ^{i+j}P}{\partial X^{i}\partial Y^{j}}(a,b)(X-a)^{i}(Y-b)^{j}$Remarquons d'abord que la somme de droite, apparemment infinie, est en fait finie dans la mesure où les dérivées partielles s'annulent dès que l'ordre est suffisamment grand, en fait dès que i est strictement plus grand que le degré partiel de P en X et j strictement plus grand que le degré partiel de P en Y.
Nous affirmons maintenant que tout P∈K[X,Y] peut s'écrire comme somme de termes de la forme $\lambda (X-a)^{r}(Y-b)^{s}$, où λ est un élément de K et où r et s sont deux entiers naturels.
En effet, tout polynôme de K[Y] peut s'écrire comme somme de termes de la forme $\alpha (Y-b)^s, d'après ce résultat. Il suffit donc d'écrire $P=\sum_{s}P_s(X)(Y-b)^{s}$, puis d'appliquer le même résultat à chaque polynôme $P_s$, $P_s=\sum_{r}\lambda _{r,s}(X-a)^{r}$ et pour finir on substitue et on développe.
Par linéarité il suffit donc de démontrer notre théorème seulement dans le cas où P est un monôme $P=(X-a)^{m}(Y-b)^{n}$.
Mais dans ce cas on a : $\frac{\partial ^{i+j}P}{\partial X^{i}\partial Y^{j}}(a,b)=0 \text{ pour }(i,j)\neq (m,n)$ et $\frac{\partial ^{m+n}P}{\partial X^{m}\partial Y^{n}}(a,b)=m!n!$.
Dans ce cas toujours, le second membre de notre formule se réduit à $\frac{1}{m!n!}m!n!(X-a)^{m}(Y-b)^{n}$ et ceci achève la démonstration.Généralisation à n indéterminées
Le théorème précédent se généralise comme suit au cas d'un nombre fini quelconque n d'indéterminées :
P étant un polynôme de K[X1,X2,Xn] et (a1,a2,...,an) étant un élément de Kn, on a la formule :
$P=\sum_{i_1\geqslant 0,i_2\geqslant 0,...,i_n\geqslant 0}\frac{\partial ^{i_1+i_2+...+i_n}P}{\partial X_1^{i_1}\partial X_2^{i_2}...\partial X_n^{i_n}}(a_1,a_2,...,a_n)(X_1-a_1)^{i_1}(X_2-a_2)^{i_2}...(X_n-a_n)^{i_n}$La démonstration est strictement identique au cas précédent de deux variables.