A est un anneau commutatif unitaire l'unité sera notée 1A, pour éviter de la confondre avec l'unité 1 de ℤ.
On rappelle la notation additive qui définit n1A pour tout n∈ℤ.
Dans ces conditions :
L'application h:n→n1A de ℤ dans A, est un morphisme d'anneaux.
Cela se vérifie immédiatement.
Ker(h) est donc un idéal de ℤ.
C'est une conséquence de ce résultat.
En conséquence et compte tenu de la caractérisation des idéaux de ℤ c'est un ensemble de la forme pℤ.
L'entier positif ou nul p s'appelle la 'caractéristique' de A.
Deux possibilités se présentent alors. Soit p=0, auquel cas h est injectif et A contient un sous-anneau isomorphe à ℤ soit p≠0 alors A contient un sous-anneau isomorphe à ℤ/pℤ.
Le cas intéressant est celui où A est un corps, disons K. On a alors le théorème suivant.Soit K est un corps de caractéristique 0, dans ce cas il contient un sous-corps isomorphe à ℚ soit K est de caractéristique p>0, alors p est un nombre premier et K contient un sous-corps isomorphe à ℤ/pℤ.
Le premier point est clair compte tenu du fait que ℚ est le corps des fractions de ℤ.
Pour le second point notons que si K est un corps, K est en particulier un anneau intègre donc si p1A=0 p ne peut avoir de diviseur q car si p=qm on aurait q1A.m1A=0 donc q1A=0 ou m1A=0, ce qui contredit le fait que p est le plus petit entier >0 pour lequel p1A=0. Donc dans ce cas K contient un sous-corps isomorphe à ℤ/pℤEn outre tout sous-corps de K a même caractéristique que K.