K désigne un corps commutatif de caractéristique 0. Ceci sous-entend en particulier que K contient un sous-corps isomorphe à ℚ et que tout entier est inversible dans K, en particulier les nombres de la forme n! qui ne sont jamais nuls.
K[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients dans K.
On rappelle que les dérivées successives d'un polynôme P, comme d'une série formelle de K[X] ont été définies ici.La formule de Mac-Laurin établit une relation entre les coefficients d'un polynôme et les valeurs en zéro de ses dérivées successives. Plus précisément :
Dans les hypothèses ci-dessus, si $P(X)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ alors $a_{i}=\frac{D^{(i)}P (0)}{i!}$.
La démonstration se fait par récurrence sur n=d°(P).
A l'ordre i=0 la propriété se résume à a0=P(0).
Notons bi le coefficient d'ordre i du polynôme dérivé P'. Par définition de P' bi=(i+1)ai+1 et P'(i)=P(i+1). Par hypothèse de récurrence appliquée à P', P'(i)(0)=i!bi, donc P(i+1)(0)=P'(i)(0)=i!(i+1)ai+1=(i+1)!ai+1.Voici une vérification avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :