Soit G un groupe résoluble et considérons la suite des dérivés successifs de G.

Compte tenu de la définition et de ce théorème que la suite des dérivés successifs de G est une suite normale.

IL est trivial que ii. implique iii.

Il reste donc à montrer que iii.⇒i.. On considère donc une suite de composition : G=G₀$\vartriangleright$G₁$\vartriangleright$G₂$\vartriangleright$......G_n-1$\vartriangleright$G_n={1} telle que G_i/G_i+1 soit abélien pour tout i 0≤i≤n-1. Quitte à supprimer certains indices i on peut supposer que les G_i sont deux à deux distincts et qu'on a affaire à une suite strictement décroissante. Pour i=0, et compte tenu de ce théorème, la commutativité de G₀/G₁ =G/G₁ entraîne que D(G)⊆G₁.
D(G)⊆G₁⇒D(D(G))=D₂(G)⊆D(G₁) et comme G₁/G₂ est abélien, D(G₁)⊆G₂ d'où D(G₂)⊆G₂, et par récurrence : D_i(G)⊆G_i ∀i 0≤i≤n.
En particulier D_n(G)⊆G_n={1} et G est résoluble.