Si G est un groupe avec |G|=n=m.pα où p ne divise pas m, alors G possède un p-sylow .

Soit G tel qu'il est dit dans l'énoncé. Le théorème de Cayley nous permet d'affirmer l'existence d'un morphisme injectif de G dans le groupe symétrique Sn (exemple 7 de cette page). Mais on a une injection évidente de Sn dans GLn(Fp). (ei) étant une base de Fpn ; à toute permutation φ de Sn on associe la matrice de l'automorphisme f de Fpn défini par f(ei)=eφ(i).

On réalise ainsi une injection de G dans GLn(Fp). G devient ainsi isomorphe à un sous-groupe H de GLn(Fp). De plus, comme nous l'avons vu dans l'exemple précédent, GLn(Fp) possède un p-sylow S. Mais d'après le lemme précédent il existe un élément a de GLn(Fp) tel que aSa-1∩H soit un p-sylow de H. H contient donc un p-sylow. Ce p-sylow se transporte dans G par l'isomorphisme inverse de celui de G sur H.
Le corollaire précédent admet comme conséquence le résultat suivant:
Soit G un groupe d'ordre n et soit p un diviseur premier de n. Notons n=m.pα où m est premier avec p. alors pour tout entier r vérifiant 1≤r≤α il existe dans G un sous-groupe d'ordre pr.
Il suffit de prendre un p-sylow de G, disons S et de lui appliquer ce résultat.
Le corollaire précédent admet comme conséquence le 'théorème de Cauchy' :
Soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|. Alors G possède un sous-groupe (forcément cyclique) d'ordre p.
Il suffit d'appliquer le corollaire précédent avec r=1.