Un 'p-groupe' est un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p.
Comme exemples de p-groupes nous avons les groupes cycliques ℤ/prℤ, ainsi que les produits directs de tels groupes cycliques.
Notons également que :
Tout sous-groupe d'un p-groupe est lui-même un p-groupe.
Nous avons un premier résultat concernant les points fixes dans l'opération de tels groupes.
Soit G un p-groupe non trivial opérant sur un ensemble fini non vide E, alors l'ensemble de ses points fixes FG(E) est non trivial également et son ordre est congru au cardinal de E modulo p.
|FG(E)|≡|E| [p]
|FG(E)|≡|E| [p]
On sait que |FG(E)| est le nombre d'orbites ponctuelles.
Si toutes les orbites sont ponctuelles alors |FG(E)|=|E| et le résultat est clair.
Sinon on note Ω1, Ω2,...,Ωk, les différentes orbites non ponctuelles. Alors en appliquant ce résultat, il vient $$\left | E \right |-\left | F_{G}\left ( E \right ) \right |=\sum_{i=1}^{k}\left | \Omega _{k} \right |$$ Il suffit donc de monter que chacun des nombres $\left | \Omega _{i} \right |$ est un multiple de p.
Mais par application de ce théorème chacun des nombres $\left | \Omega _{i} \right |$ divise l'ordre de G qui est une puissance de p. Ces nombres sont donc de la forme pri et ri≠0 compte tenu de nos hypothèses.
Nous en déduisons :
Si toutes les orbites sont ponctuelles alors |FG(E)|=|E| et le résultat est clair.
Sinon on note Ω1, Ω2,...,Ωk, les différentes orbites non ponctuelles. Alors en appliquant ce résultat, il vient $$\left | E \right |-\left | F_{G}\left ( E \right ) \right |=\sum_{i=1}^{k}\left | \Omega _{k} \right |$$ Il suffit donc de monter que chacun des nombres $\left | \Omega _{i} \right |$ est un multiple de p.
Mais par application de ce théorème chacun des nombres $\left | \Omega _{i} \right |$ divise l'ordre de G qui est une puissance de p. Ces nombres sont donc de la forme pri et ri≠0 compte tenu de nos hypothèses.
Le centre d'un p-groupe non trivial, ne se réduit pas à l'élément neutre.
Faisons opérer G sur lui-même par conjugaison. Alors E=G et FG(E)=Z(G).
Le théorème précédent nous dit que |G|-|Z(G)| est un multiple de p. Comme |G| est une puissance de p il en résulte que |Z(G)| est un multiple de p.
Si p est un nombre premier, tout groupe d'ordre p2 est abélien.
D'après le théorème de Lagrange, l'ordre de Z(G) divise p2 . Si c'est p2 alors Z(G)=G et G est abélien. D'après la proposition précédente |Z(G)| est un multiple de p, donc ce ne peut être 1. Si cet ordre n'est pas p2 alors c'est p. Mais dans ce cas G/Z(G) est d'ordre p donc cyclique.
il existe donc un élément t tel que :
$$G/Z(G)=\left \{ \overline{t^{0}},\overline{t^{1}},...,\overline{t^{p-1}} \right \}$$
Soient donc x et y deux éléments de G. il existe i tel que xti=z1∈Z(G) et il existe j tel que
ytj=z2∈Z(G).
Compte tenu de la définition de Z(G). on a donc xy=z1t-iz2t-j=z1z2t-i-j
et on a donc yx=z2t-jz1t-i=z2z1t-i-j
de sorte que xy=yx résulte du fait que z1 et z2 commutent.
Compte tenu de la définition de Z(G). on a donc xy=z1t-iz2t-j=z1z2t-i-j
et on a donc yx=z2t-jz1t-i=z2z1t-i-j
de sorte que xy=yx résulte du fait que z1 et z2 commutent.
Soit G un p-groupe d'ordre pr. Alors pour tout k 0≤k≤r G possède un sous-groupe distingué d'ordre pk.
Nous savons que le centre Z(G) est non trivial. Soit x un élément de Z(G) distinct de l'unité. Alors son ordre est pν>0. Alors (xν-1)p =1, donc remplaçant x par xν-1, on peut supposer que x lui-même est d'ordre p.Le sous-groupe <x> de g engendré par x est donc d'ordre p, et il est distingué. Donc G/<x> est d'ordre pr-1.
Par hypothèse de récurrence, pour tout k≤r le groupe G/<x> possède un sous-groupe distingué H' d'ordre pk-1. Soit H l'image réciproque de H' par la surjection canonique G:→G/<x>. Alors d'après ce résultat H est distingué dans G. En outre |H|=|H'|.|<x>|=pk-1.p=pk.