Pour les notations se reporter à cette page.

1. L'équation de la droite est : $$\begin{vmatrix} x-a_{1} & b_{1}-a_{1}\\ y-a_{2} & b_{2}-a_{2} \end{vmatrix}=0$$
2. L'équation du cercle est : $$\left ( x-a_{1} \right )^{2}+\left ( y-a_{2} \right )^{2}=\left ( c_{1}-b_{1} \right )^{2}+\left ( c_{2}-b_{2} \right )^{2}$$

Dans un cas comme dans l'autre il suffit de développer pour obtenir l'expression des coefficients au moyen des quatre opérations +,-, ×, /.

Rappelons pour commencer que [L_j+1:L_j] désigne le degré de L_j+1 sur L_j.

D'après nos définitions t est l'abscisse d'un point constructible M.

M est construit à partir des deux points de base O et I. Soit donc la suite M₁=O, M₂=I, M₃, ..., M_n=M, la suite des points constructibles permettant de construire M à partir des points de base.

Pour tout i 1 ≤i≤n nous désignons par x_i et y_i les coordonnées de M_i, dans le repère (O,I,J) de sorte que x₀=y₀=0, x₁=1,y₁=0, ... , x_n=t.

Posons :

• K₁=$\mathbb{Q}$(x₁,y₁)
• K₂=$\mathbb{Q}$(x₁,y₁, x₂,y₂)
• ...
• K_i=$\mathbb{Q}$(x₁,y₁,..., x_i,y_i)
• ...
• K_n=$\mathbb{Q}$(x₁,y₁,..., x_n,y_n)

On a donc K₁ ⊆ K₂ ⊆ ... ⊆ K_i ⊆ K_i+1 ⊆ ... ⊆ K_n. K₁=K₂=$\mathbb{Q}$ et t∈ K_n.

Nous allons montrer que pour tout i soit K_i+1=K_i soit [K_i+1,K_i]=2.

Le résultat est évident pour i=1, nous pouvons donc supposer que i ≥ 2.

M_i+1 est construit à partir de M₁, ...,M_i et d'après le résultat précédent ces droites et ces cercles ont des équations avec des coefficients dans K_i.

Trois cas peuvent alors se produire selon que M_i+1 est l'intersection de deux droites, d'une droite et d'un cercle ou de deux cercles construits à partir de points de {M₁,...,M_i}.

1. Si M_i+1 est intersection de deux droites, les nombres x_i+1 et y_i+1 sont solutions d'un système linéaire : $$\left\{\begin{matrix} \alpha x+\beta y=-\gamma \\ \alpha' x+\beta' y=-\gamma' \end{matrix}\right.$$

   où tous les coefficients sont dans K_i.

   Les solutions s'expriment en fonction des coefficients par les formules de Kramer, avec des déterminants donc en n'employant que les 4 opérations +,-,× /. Cela signifie donc que x_i+1 et y_i+1 sont dans K_i d'où K_i+1=K_i(x_i+1,y_i+1)=K_i.

2. Si M_i+1 est intersection d'une droite et d'un cercle, les nombres x_i+1 et y_i+1 sont solutions d'un système :

   $$\left\{\begin{matrix} \alpha x+\beta y +\gamma =0 \\ x^{2}+y^{2}-2\alpha 'x -2\beta 'y +\gamma' =0 \end{matrix}\right.$$

   Si $\beta \neq 0$ on a :

   $$y=\frac{-1}{\beta }\left ( \alpha x+\gamma \right ) $$

   que l'on reporte dans la seconde équation pour former l'équation aux abscisses.

   Cette équation est du second degré à coefficients dans K_i et x_i+1 est racine de cette équation.

   On a alors deux possibilités :

   • $x_{i+1}\in K_{i}$ alors $y_{i+1}=\frac{-1}{\beta }\left ( \alpha x_{i+1}+\gamma \right ) \in K_{i}$ et $K_{i+1}=K_{i}$

   • $x_{i+1}\notin K_{i}$ alors $x_{i+1}$ est algébrique de degré 2 sur $K_{i}$ et on a : $$x_{i+1}\notin K_{i}$$ Donc $\left [ K_{i+1}:K_{i} \right ]=2$.

Si β = 0, alors α ≠ 0, on procède de même en formant l’équation aux ordonnées.

3. Si M_i+1 est l'intersection de deux cercles alors x_i+1 et y_i+1 sont solutions d'un système : $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2\alpha x -2\beta y +\gamma =0\\ x^{2}+y^{2}-2\alpha 'x -2\beta 'y +\gamma' =0 \end{matrix}\right.$$ avec tous les 6 coefficients dans K_i.

   Ce système est équivalent au système :

   $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2\alpha x -2\beta y +\gamma =0\\ 2\left ( \alpha -\alpha ' \right )x+2\left ( \beta -\beta' \right )y - \left ( \gamma -\gamma ' \right )=0 \end{matrix}\right.$$ et on est ramené au cas précédent

Nous avons donc construit une suite emboîtée de sous-corps de $\mathbb{R}$ telle que K₁=$\mathbb{Q}$, t ∈K_n et pour i allant de 1 à n-1 soit K_i+1=K_i soit [K_i+1:K_i]=2.

Il suffit donc maintenant de supprimer les corps superflus pour obtenir une suite strictement croissante.

Nous examinons maintenant la réciproque:

Soit donc L₁ ⊆L₂⊆ ...⊆L_p une suite de sous-corps emboîtés vérifiant les conditions du théorème.

Nous allons démontrer par récurrence sur j que L_j est constructible.

L₁ est constructible car L₁=$\mathbb{Q}$. Les sous-corps de $\mathbb{C}$ sont en effet tous de caractéristique 0 donc doivent contenir $\mathbb{Q}$.

Supposons L_j constructible et soit a∈L_j+1. La famille 1, a, a² est liée sur Lj car [L_j+1:L_j]=2. C'est dire que a est racine d'une équation du second degré :

$$\alpha a^{2}+\beta a+\gamma =0$$

à coefficients dans L_j.

Si α=0 alors a ∈L_j donc a est constructible.

Dans le cas contraire désignons par δ une des deux racines complexes de β²-4αγ.

Alors en vertu de ce résultat δ est constructible.

On sait que a est donné par :

$$a=\frac{-\beta \pm \delta }{2\alpha }$$

a est donc constructible puisque ces nombres forment un sous-corps de $\mathbb{C}$.

Si t ∈ R est constructible, d’après le théorème précédent il existe une suite de sous-corps de $\mathbb{R}$, L₁ ⊂ L₂ ⊂ . . .⊆ L_p telle que L₁ =$\mathbb{Q}$, t ∈ L_p et pour 1 ≤ j ≤ p−1 [L_j+1:L_j] = 2.

On a donc par le théorème de multiplication des degrés :

$$\left [ L_{p}:\mathbb{Q}\right ]=\left [ L_{p}:L_{p-1} \right ]\times \left [ L_{p-1}:L_{p-2} \right ]\times....\times\left [ L_{2}:\mathbb{Q} \right ]=2^{p-1}$$

On a aussi $\mathbb{Q}$ ⊂ $\mathbb{Q}$(t) ⊂ L_p , d’où 2^p−1 = [L_p:$\mathbb{Q}$] = [L_p:$\mathbb{Q}$(t)] × [$\mathbb{Q}$(t):$\mathbb{Q}$].

[$\mathbb{Q}$(t):$\mathbb{Q}$] est donc un diviseur de 2^p-1, c'est donc une puissance de 2 que nous notons 2^q. Le théorème résulte donc de ce théorème.