Définitions

Soit K un corps (commutatif) et E une partie non vide de K.

Alors il existe des sous-corps de K contenant E, à commencer par K lui-même. Nous affirmons que :

L'intersection de tous les sous-corps de K contenant E est encore un sous-corps de K contenant E et que c'est le plus petit sous-corps de K contenant X. Nous le notons (E).
La preuve est identique à celle-ci pour les groupes, ou celle-là pour les idéaux.
(E) est appelé le sous-corps de K 'engendré' par E.

Notons que la notation introduite ici ne fait aucune référence au corps K, ce qui peut entraîner une confusion quand K est un sous-corps de L de sorte que si E est une partie de K, c'est aussi une partie de L, et le sous-corps de K engendré par E n'est pas forcément celui de L engendré par E. Il faudrait donc en toute logique noter (E)K le sous-corps engendré par E 'sur K' et (E)L le sous-corps engendré par E 'sur L'. Cependant nous nous intéressons à une situation particulière que nous décrivons ci-après où ces notations seront complétées pour éviter toute confusion. Nous essayons pour le moment de ne pas surcharger les notations en vigueur.

Nous étudions maintenant le cas où L/K est une extension de corps et où E est une partie de L.

Nous désignons par K(E) le sous-corps de L engendré par K∪E.
Alors K(E)/K est une extension de K et L/K(E) une extension de K(E).

Nous avons donc une suite de deux monomorphismes $K\hookrightarrow K(E)\hookrightarrow L$ caractéristique des sous-extensions.

En outre, l'égalité K(E∪F)=(K(E))(F)=(K(F))(E) résulte immédiatement des définitions.

Notations particulières

Si E est un singleton E={y} au lieu de K({y}) nous utiliserons la notations plus simple K(y).

De la même façon si E est une partie finie E={y1,y2,...,yn}, nous utiliserons la notation K(y1,...,yn) de préférence à K({y1,...,yn}).

Exemples

  1. Si on se place dans ℂ on voit que ℝ(i)=ℂ.
  2. Si on se place dans K((X)), la notation K(X) peut prêter à confusion, comme pouvant signifier le sous-corps engendré par l'indéterminée X ou bien le corps des fractions de K[X]. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier, que les deux notions coïncident.