L/K désigne une extension.

Définitions

Un élément a de L est dit 'algébrique' sur K, s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans K.

Remarquons que l'ensemble des polynômes admettant l'élément a pour racine est un idéal de K[X]. K étant un corps commutatif, l'anneau K[X] est euclidien donc principal. Cet idéal est donc engendré par un unique polynôme unitaire P qui a la propriété d'être un élément de l'idéal de plus petit degré possible.

Le polynôme P ci-dessus est nécessairement irréductible.
En effet supposons P factorisable P=QR alors P(a)=Q(a)R(a) et on a Q(a)R(a)=0. Comme L est en particulier intègre, on doit avoir Q(a)=0 ou R(a)=0, ce qui contredit la définition de P dans la mesure où d°(Q)<d°(P) et d°(R)<d°(P).
P s'appelle le polynôme 'minimal' de a sur K.
Il resulte de la définition que tout polynôme de K[X] admettant a pour racine est un multiple du polynôme minimal de a.
Une extension L/K est dite 'algébrique' si tout élément de L est algébrique sur K au sens précédent.
Deux éléments algébriques admettant le même polynôme minimal sont dits 'racines conjuguées'.

Exemples

  1. Tout élément k de K est algébrique sur K, car racine de X-k.
  2. Dans l'extension ℝ/ℚ le nombre √2 est algébrique sur ℚ car racine du polynôme X2-2. X2-2 est le polynôme minimal de √2 sur ℚ car √2 ne peut être racine d'un polynôme de degré 1, sinon √2 serait rationnel.
  3. Dans l'extension ℂ/ℝ l'élément i est algébrique sur ℝ car racine du polynôme X2+1, qui pour les mêmes raisons que précédemment est son polynôme minimal.

Propriétés

Si a est algébrique sur K alors K[a]=K(a)

Pour la définition de K(a) on peut se reporter à cette page, et pour celle de K[a] à cette autre.

Q:→Q(a) est un morphisme d'anneaux de K[X] sur K[a], dont le noyau est l'idéal I ensemble des multiples du polynôme minimal P de a.

Comme P est irréductible I est un idéal maximal.

En vertu de ce théorème K[X]/I est un corps.

En vertu de ce théorème Q:→Q(a) induit un isomorphisme du corps K[X]/I sur K[a], d'où le résultat.

Si a est algébrique sur K, de polynôme minimal P de degré n, alors (1,a,a2,...,an-1) est une base de K[a], donc de K(a), sur K. Il en résulte que K(a)/K est finie.

Notre hypothèse entraîne que an est combinaison linéaire de (1,a,a2,...,an-1). Montrons par récurrence qu'il en est de même de toute puissance de a.

Soit m un entier quelconque est supposons que am s'exprime linéairement en fonction de (1,a,a2,...,an-1) .

On a donc $a^{m}=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda _ia^{i}$ d'où nous tirons $a^{m+1}=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda _ia^{i+1}$.

Mais tous les termes de la somme de droite dans l'expression de $a^{m+1}$ sont combinaisons linéaires des $(a_i)$ pour 0≤i≤n-1. Il en résulte que (1,a,a2,...,an-1) est un système générateur de K[a] sur K.

En outre si (1,a,a2,...,an-1) n'était pas libre on pourrait trouver une équation algébrique de degrè <n dont a est racine, ce qui contredirait le fait que P est le polynôme minimal de a. (1,a,a2,...,an-1) est donc une base de K[a]=K(a) sur K.

Supposons maintenant que L/K est une extension finie.

Dans ce cas nous pouvons affirmer que L/K est une extension algébrique.
En effet supposons que L comporte un élément non algébrique sur K, disons a, alors aucune puissance de a n'est combinaison linéaire à coefficients dans K de puissances strictement inférieures. Ce qui veut dire que tout système (1,a,a2,....,an) est libre et donc que [L:K]≥n et cela pour tout n.

Ces théorèmes admettent la conséquence suivante :

Si L/K est une extension et si (a1,....,an) sont n éléments de L algébriques sur K, alors K[a1,a2,...,an]=K(a1,a2,...,an) est une extension finie de K, donc algébrique d'après ce qui précède.
Cela se démontre par récurrence sur n. K[a1]=K(a1) est finie. On se place dans l'extension L/K(a1) a2 étant algébrique sur K l'est a fortiori sur K(a1). Donc K(a1,a2)=K(a1)(a2) est finie sur K par le théorème de multiplication des degrés, et ainsi de suite.
Le théorème suivant admet pour conséquence :
Pour tout polynôme P(X1,....,Xn) à n indéterminées à coefficients dans K et tout n-uple (a1,...,an) d'éléments algébriques de L, P(a1,...,an) est algébrique sur K.
C'est parce que K[a1,...,an] est exactement constitué des valeurs de tels polynômes sur (a1,...,an).

De là nous tirons :

Si L/K est une extension et a et b deux éléments algébriques quelconques de L :
  • a+b est algébrique sur K.
  • ab est algébrique sur K.
  • Pour tout λ∈K λa est algébrique sur K.

Et par suite :

L'ensemble KcL des éléments de L algébriques sur K est un sous-anneau de L contenant K.
Supposons maintenant que a soit non nul, a∈KcL alors K[a]=K(a)⊆KcL. Donc a-1∈K(a)=K[a]⊆KcL. De là nous tirons que :
KcL est en fait un corps, et KcL/K une extension intermédiaire de L/K, et KcL/K est algébrique
KcL se nomme la 'fermeture algébrique' de K dans L.

Extensions algébriques simples

Une 'extension algébrique simple' est une extension simple K(a)/K où a est algébrique sur K.
Il résulte de cette définition que :
K(a) est exactement l'ensemble des éléments de la forme P(a) où P parcourt K[X].
Deux extensions algébriques simples K(a) et K(b) sont K-isomorphes si et seulement si a et b ont même polynôme minimal.

De plus dans ce cas, un tel isomorphisme de K(a) sur K(b) est donné par l'application P(a)→P(b) où P parcourt l'ensemble des polynômes de K[X].

Extensions algébriques infinies

Nous avons vu qu'une extension finie était nécessairement algébrique. Cependant la réciproque n'est pas vraie et nous allons illustrer ce point par un contre-exemple.

L'ensemble $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres complexes algébriques sur ℚ, fermeture algébrique de ℚ dans ℂ, est une extension algébrique infinie de ℚ.

En effet pour tout d≥1, d'après le critère d'Eisenstein, le polynôme $X^d-2$ est irréductible.

Il s'en suit que $\left [ \mathbb{Q}[\sqrt[d]{2}]:\mathbb{Q} \right ]=d$.

Si $\left [ \overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q} \right ]$ était fini il serait supérieur à d pour tout d.

Transitivité des extensions algébriques

Soit L/K et M/L deux extensions. On suppose que L/K est algébrique. Alors tout x de M algébrique sur L l'est aussi sur K. En particulier si M/L est algébrique alors M/K est algébrique aussi.

Soit donc x∈M algébrique sur L.

On a donc une relation $x^{n}=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^{i}$ où les $a_i$ sont des éléments de L.

Par hypothèse chaque $a_i$ est algébrique sur K.

Donc le sous-corps K'=K(a1,...,an) de L est de degré fini sur K.

x étant algébrique sur K l'est aussi sur K'.

On a [K'(x):K]=[K'(x):K'].[K':K] par la règle de multiplication des degrés. Donc l'extension K'(x) est de degré fini sur K donc algébrique.