Soient λ₁,...,λ_n n monomorphismes disticts K → L. Dire qu'ils sont linéairement indépendants sur L c'est dire qu'il n'existe pas de n-uple (a₁,...,a_n) ∈ Lⁿ tel que :

a₁λ₁(x)+...+a_nλ_n(x)=0 ∀x ∈ K        (1)

Supposons donc le contraire. Quitte à éliminer certains a_i on peut supposer qu'ils sont tous non-nuls.

De toutes les équations (1) valides avec tous les a_i non nuls il en existe certaines pour lesquelles le nombre n de termes est minimum.

Nous choisissons les a_i de sorte que (1) soit l'une d'entre elles.

Ce qui nous permet de supposer qu'il n'existe pas d'équation telle que (1) avec strictement moins que n termes.

Nous devons en déduire une contradiction.

Etant donné que λ₁≠λ_n, il existe au moins un y∈K tel que λ₁(y)≠λ_n(y), et il est clair qu'un tel y est forcément non nul.

Ceci dit, l'équation (1) est vérifiée lorsqu'on remplace x par yx, donc :

a₁λ₁(yx)+...+a_nλ_n(yx)=0 ∀x ∈ K        (2)

Si nous multiplions (1) par λ₁(y) et que nous soustrayons (2), il vient :

$$\sum_{i=2}^{n}a_{i}\left ( \lambda _{i}(x)\lambda _{1}(y)-\lambda _{i}(x)\lambda _{i}(y) \right )=0$$

Le coefficient de λ_n(x) est a_n(λ₁(y)-λ_n(y)) et est donc non nul.

Nous avons donc une équation de la forme (1) avec au plus n-1 termes.

Soit n=|H| et supposons que les éléments de H soient h₁,...,h_n l'unité étant h1.

Nous posons m=[K:H°].

Nous montrons d'abord que m≥n.

Supposons donc que m<n et soit (x₁,...,x_m) une base de K sur H°.

Utilisant le lemme d'algèbre linéaire ci-dessus, nous pouvons trouver y₁,...,y_n ∈K non tous nuls tels que :

$$h_{1}\left ( x_{j} \right )y_{1}+...+h_{n}\left ( x_{j} \right )y_{n}=0 \; \; \forall j \; 1\leqslant j\leqslant m \; \; \; \; (1)$$

Soit a un élément quelconque de K, alors a peut s'écrire de manière unique :

$$a=\alpha _{1}x_{1}+...+\alpha _{m}x_{m}$$ où $\alpha _{1},...,\alpha _{m}\in \text{H°}$

Alors:

$$\sum_{i=1}^{n}h_{i}(a)y_{i}=\sum_{i=1}^{n}h_{i}\left ( \sum_{j=1}^{m}\alpha _{j}x_{j} \right )=\sum_{j=1}^{m}\alpha _{j}\left ( \sum_{i=1}^{n}h_{i}y_{i} \right )x_{j}=0$$

ce qui prouve que les homomorphismes distincts h₁,...h_n sont linéairement dépendants, contrairement au lemme de Dedekind.

Nous montrons maintenant que m≤n.

Supposons donc que [K:H°]=m>n. Alors il existe un ensemble de n+1 éléments de K linéairement indépendants sur H°, soient x₁,...,x_n+1 ces éléments. En utilisant à nouveau le lemme d'algèbre linéaire ci-dessus il existe y₁,...,y_n+1 éléments de K non tous nuls tels que pour tout j , 1≤j≤n : $$h_{j}(x_{1})+... +h_{j}(x_{n+1})y_{n+1}=0 \; \;\;\; (2)$$

Nous choisissons maintenant le n+1-uple (y₁,...,y_n+1) de façon à ce que le nombre d'éléments non nuls soit minimum et nous renumérotons de façon que :

$$y_{1},...,y_{r}\neq 0 \; \text {et} \; y_{r+1},..., y_{n+1}\neq 0$$

l'équation (2) devient :)

$$h_{j}(x_{1})+... +h_{j}(x_{r})y_{r}=0 \; \;\;\; (3)$$

Soit alors h un élément de H opérant sur H comme dans le lemme sur les groupes ci-dessus.

Cela nous donne un système d'équations :

$$hh_{j}(x_{1})+... +hh_{j}(x_{r})y_{r}=0 \; \;\;\; (4)$$

Si nous multiplions les équations (3) par h(y₁) et (4)par y₁ et que nous soustrayons, nous obtenons :

$$h_{j}\left ( x_{2} \right )\left ( y_{2}h\left ( y_{1} \right )-h\left ( y_{2} \right ) y_{1}\right ) + ... +h_{j}\left ( x_{r} \right )\left ( y_{r}h\left ( y_{1} \right )-h\left ( y_{r} \right ) y_{1}\right )=0$$ C'est un système d'équations analogue à (3) mais avec moins de termes, ce qui donne une contradiction, à moins que tous les coefficients : $$y_{i}h\left ( y_{1} \right )-y_{1}h\left ( y_{i} \right )$$

ne soient nuls.

Si c'est le cas, alors :

$$y_{i}y_{1}^{-1}=h\left ( y_{i}y_{1}^{-1} \right ) \; \;\forall h\in H$$

de sorte que $y_{i}y_{1}^{-1}\in \text{H°}$.

Alors il existe z₁, ..., z_r ∈H° et un élément k∈K tels que y_i=kz_i pour tout i.

L'équation (3) avec j=1 devient alors :

$$x_{1}kz_{1}+...+x_{r}kz_{r}=0 \;\; \text{avec} \;\; k\neq 0$$

En divisant par k on obtient une relation linéaire entre les x_i, ce qui contredit l'hypothèse qu'il s'agit d'une base, et achève de ce fait la démonstration.