Nous utilisons ici des définitions et des notations déjà introduites dans ce chapitre et que nous rappelons.

A désigne un anneau commutatif et unitaire.

M désigne un A-module.

Tout d'abord nous considérerons des familles indexées d'éléments de M (finies ou infinies) que nous notons $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I, mais aussi des familles indexées d'éléments de A, $\mathfrak{S}$=(λi)i∈I.

Nous disons que de telles familles sont 'presque toutes nulles' si tous les xi, (resp. tous les λi) sont nuls sauf éventuellement un nombre fini d'entre eux.

Une famille indexée par I d'éléments de M est un élément de l'ensemble MI de toutes les applications de I dans M.

L'ensemble des familles presque toutes nulles sera noté, conformément aux usages, M(I). Idem pour les suites presque toutes nulles d'éléments de A (notation A(I)).

Nous rappelons la définition de 'combinaison linéaire' d'éléments de la famille (xi).

Nous rappelons que le sous-module engendré par la famille $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires des xi.

Nous rappelons qu'une famille est dite 'génératrice' si le sous-module qu'elle engendre est le sous-module trivial M, c'est à dire si tout élément x de M peut s'écrire comme combinaison linéaire des xi, c'est à dire si pour tout x∈M il existe (ai)∈M(I) et (λi)∈A(I) telles que $x=\sum_{i\in I}^{ }\lambda _{i}a_{i}$ (la somme étant nécessairement finie).

Remarquons tout de suite que :

Il existe des familles génératrices

Il suffit en effet de prendre l'ensemble M tout entier que l'on peut indexer par lui-même.

Soit $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I et $\mathfrak{G}$=(yj)j∈J deux familles indexées d'éléments de M. On dit que $\mathfrak{G}$ est une 'sur-famille' de $\mathfrak{F}$ si I⊆J et si pour tout i∈I xi=yi. Du point de vue ensembliste, si on néglige l'indexation, cela revient à une simple inclusion de {xi} dans {yj}.
On dit que $\mathfrak{F}$ est une 'sous-famille' de $\mathfrak{G}$, si G est une sur-famille de $\mathfrak{F}$.
Avec toutes ces définitions nous avons le résultat évident suivant :
Toute sur-famille d'une famille génératrice reste une famille génératrice.

Cela signifie qu'en agrandissant des familles génératrices on conserve la propriété d'être génératrice.

Introduisons encore une nouvelle définition :

$\mathfrak{F}$=(xi)i∈I étant une famille indexée d'éléments de M tous non nuls on appelle 'relation linéaire' entre les xi une famille finie de scalaires (λi)i∈J J⊆I, J finie non tous nuls telle que $\sum_{j\in J}^{ }\lambda _{i}x_{j}=0$

Dans les espaces vectoriels cela correspond à la notion de vecteurs linéairement dépendants.

Une famille $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I est dite 'libre' s'il n'existe aucune relation linéaire entre les (xi). Autrement dit, si pour tout sous-ensemble fini non vide J⊆I $\sum_{j\in J}^{ }\lambda _{j}x_{j}=0\Rightarrow \lambda _{j}=0 \text{ }\forall j\in J$.
Il est clair que :
Toute sous-famille d'une famille libre reste une famille libre.
Une famille $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I est appelée une 'base' de M si elle est à la fois libre et génératrice.
On dit que M est un A-module 'libre' s'il possède une base.

Les espaces vectoriels sont donc des exemples de modules libres.

Reprenons maintenant la définition d'un groupe libre de base X telle que donnée ici. Prenons pour H A(X) et pour f l'application de X dans A qui à x associe 1 et qui associe 0 à tous les autres éléments. Alors nous avons un isomorphisme de groupes de G sur A(X) donc un isomorphisme de ℤ-modules. La notion de groupe libre de base X est donc un cas particulier de ℤ-module libre de base X.

Cela peut surprendre le lecteur au fait de la théorie des espaces vectoriels mais il y a des modules où n'existe aucun système libre et partant aucune base. Prendre par exemple pour M le groupe additif ℤ/4ℤ muni de sa structure de ℤ-module. Pour tout vecteur x de M on a 4x=0, donc le système formé du seul vecteur (x) n'est pas libre et il en va de même pour tout système le contenant.

On dit que M est un A-module 'de type fini' si M possède une famille génératrice finie.

On connaît des exemples d'espaces vectoriels qui ne sont pas de type fini. Par exemple Kℕ ou bien même K(ℕ) l'anneau des polynômes à coefficients dans K.

A(I) est libre. Une base étant constituée par la famille ((aij)i∈I)j∈I avec aij=0 si i≠j et aij=1 si i=j.

Dans le cas où I est fini I={1,2, ...,n} l'exemple précédent nous donne un module libre de type fini avec une base 'canonique'. Le module correspondant est alors isomorphe à An, ce cas a été largement étudié dans la théorie des espaces vectoriels.

Un idéal de A est aussi un A-module et il est clair qu’il est de type fini en tant que A-module si et seulement si il est de type fini en tant qu’idéal (engendré par un nombre fini d'éléments). A lui-même est de type fini engendré par le seul élément {1}.

Supposons maintenant que I soit un idéal, libre comme A-module. Alors on a une famille libre $\mathfrak{F}$ de I. Supposons que cette famille contienne strictement plus d’un élément : disons a et b. Ces éléments sont non nuls, mais on a alors :

ab-ba=0 qui constitue une relation linéaire entre eux.

Ce qui contredit le fait que $\mathfrak{F}$ soit libre. Donc si I est libre I admet une base à un seul élément, c'est à dire que I est principal.
Toute somme directe d'un nombre fini de A-modules de type fini est elle-même de type fini.

Le résultat vaut pour une somme directe (externe) de A-modules ou comme une somme directe interne de sous-A-modules d'un même module de la même façon de la même façon.

Tout élément de la somme directe peut s'écrire comme somme finie d'éléments de chacun des Mi qui peut lui-même, pat hypothèse, s'écrire comme combinaison linéaire finie d'éléments de Mi.
Tout A-module M est isomorphe au quotient d'un module libre.

Nous avons vu qu'il existe toujours des familles génératrices pour M (quitte à prendre M lui-même en entier). Soit donc $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I une famille génératrice de M et soit f l'application : A(I)→M définie par $f\left ( \left ( \lambda _{i} \right ) \right )=\sum_{i\in I}^{ }\lambda _{i}x_{i}$ (attention la somme est finie par définition de A(I)). f est clairement un morphisme surjectif de A-modules. Soit H son noyau alors M est isomorphe à A(I)/H.

Résultat à rapprocher de ceci.