K désigne un corps commutatif infini.

K[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients dans K.

K(X) désigne le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K.

Soit $\frac{P}{Q}$ une fraction rationnelle de K(X) écrite sous forme irréductible. On appelle 'pôle' de F toute racine de son dénominateur. On dit que a∈K est un "pôle d'ordre r" de F si a est un zéro de multiplicité r de Q. Toute racine de multiplicité k du polynôme P est dite "racine de multiplicité k" de F.

Les définitions ci-dessus ne dépendent pas du représentant irréductible choisi pour F. En effet si $\frac{P_1}{Q_1}$ et $\frac{P_2}{Q_2}$ sont deux représentants irréductibles de F alors $P_1$ est associé à $P_2$ et $Q_1$ est associé à $Q_2$. Ils ont donc les mêmes zéros avec les mêmes multiplicités. Cependant il est indispensable dans la définition précédente de prendre un représentant irréductible. Ainsi, bien que racine de X2-1, +1 n'est pas un pôle de $\frac{X^{3}-1}{X^{2}-1}$.

F étant une fraction rationnelle, on appelle 'domaine de définition' de F, l'ensemble K privé des pôles de F.
F étant une fraction rationnelle $F=\frac{P}{Q}$ on appelle 'fonction rationnelle' associée à F la fonction définie sur le domaine de définition de F par $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ où p est la fonction polynomiale associée à P, et q la fonction polynomiale associée à Q.

On peut définir la somme et le produit de deux fonctions rationnelles, cependant les domaines de définition peuvent être distincts des domaines de l'une et l'autre.

Soient f et g deux fonctions rationnelles de domaines D1 et D2 respectivement. Pour tout x∈D1∩D2 on pose :
  • (f+g)(x)=f(x)+g(x)
  • (f.g)(x)=f(x)g(x)
Dans ces conditions si f est associée à la fractions rationnelle F et g à la fraction rationnelle G, f+g est associée à F+G et fg est associée à FG.

Cela résulte simplement de la définition de f à partir de F.

Soient F et G deux fonctions rationnelles de domaines D1 et D2 respectivement.Soient f et g les fonctions rationnelles associées.

Si f(x)=g(x) ∀x∈D1∩D2, alors F=G.

Posons $F=\frac{P_1}{Q_1}\text{ et }G=\frac{P_2}{Q_2}$ où F et G sont représentées par des fractions irréductibles. Soient p1,q1,p2,q2 les fonctions polynomiales associées.

Notre hypothèse se traduit par :

$(p_1q_2-p_2q_1)(x)=0 \text{ pour tout }x\in D_1\cap D_2$

C'est ici qu'intervient l'hypothèse que K est un corps infini. Le polynôme $P_1Q_2-P_2Q_1$ est donc identiquement nul d'après ce résultat. C'est donc que $\frac{P_1}{Q_1}$ et $\frac{P_2}{Q_2}$ représentent le même élément de K(X).

Voici une application avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :