Définitions

K désigne un corps commutatif.

K[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients dans K.

Nous avons déjà précisé ce que nous appelons une racine (ou un zéro) d'un polynôme P de K[X]. Nous nous intéressons ici particulièrement aux racines de P dans K (bien que ces racines puissent exister dans n'importe quel sur-anneau de K).

Nous avons déjà vu ici que :
a racine de P dans K ⇔ P divisble par (X-a)
Supposons donc que a soit racine de P. Alors P=(X-a)Q où Q est le quotient (exact) de la division euclidienne de P par X-a.

Cela dit il est possible que a soit également racine de Q.

Dans ce cas Q lui-même sera factorisable par (X-a) disons Q=(X-a)R soit encore P=(X-a)2R.

On dit alors que a est racine 'double' de P.
De la même façon a est racine 'triple' de P si P est divisible par (X-a)3.
Nous pouvons maintenant introduire la notion de multiplicité d'une racine.
On dit que a est une racine de 'multiplicité' r de P si :
  • P est divisible par (X-a)r
  • P n'est pas divisible par (X-a)r+1
Une racine de multiplicité 1 est dite racine 'simple'.

Propriétés

Il résulte de la définition que :
La multiplicité r d'une racine a de P vérifie 1≤r≤d°(P).

La recherche des racines d'un polynôme et de leurs multiplicités est liée à la recherche de la décomposition du polynôme en facteurs irréductibles. Il faut toutefois garder à l'esprit qu'il peut exister des facteurs irréductibles de degré >1 sans racines.

Soit P un élément de K[X] et a1,a2,...ak les racines distinctes de P dans K de multiplicités respectives r1,r2,...,rk. Alors P peut s'écrire :

$P(X)=\prod_{i=1}^{k}\left ( X-a_{i} \right )^{r_{i}}Q(X)$ où Q est un polynôme n'admettant aucune racine dans K.
Nous avons vu que P(X) est divisible par (X-a1)r1, soit P(X)=(X-a1)r1Q1(X) mais il est également divisible par (X-a2)r2, or (X-a2)r2 est premier avec (X-a1)r1, donc (X-a2)r2 divise Q1 par le théorème de Gauss et P est divisible par (X-a1)r1(X-a2)r2 et ainsi de suite.

Il est évident que Q ne peut avoir de racines dans K, mais il peut en avoir dans une extension de K. Rien ne dit non plus que Q est irréductible.

Ce résultat admet le corollaire suivant :

Tout polynôme de degré n de K[X] admet au plus n racines si on compte chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité.
C'est évidemment un argument sur le degré qui permet de conclure r1+r2+...+rk≤d°(P)
Et on a encore le résultat suivant :
Aucun polynôme ne peut comporter une infinité de racines.

Caractérisation des racines multiples

Soit P un polynôme de K[X], a un élément de K et k un entier ≥2. Si a est racine de multiplicité k de P alors a est racine de multiplicité k-1 de P'.

Si a est racine d'ordre k de P il existe un polynôme Q tel que P(X)=(X-a)kQ(X) avec Q(a)≠0.

Alors $P'=k(X-a)^{k-1}Q+(X-a)^{k}Q'=(X-a)^{k-1}\left ( kQ+(X-a)Q' \right )$

Mais il est clair que le polynôme $\left ( kQ+(X-a)Q' \right )$ ne s'annule pas en a, puisque sa valeur en a est kQ(a).

Illustrations en informatique

Test d'une racine avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :

Dérivées d'ordre supérieur :

Multiplicité d'une racine :