A désigne, comme toujours dans ce chapitre un anneau commutatif et unitaire.
A[X] désigne l'anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans A.
Dans ces conditions :Si A est intègre A[X]aussi.
Ceci résulte tout simplement de ce théorème, sachant que l'égalité reste vraie quand le degré d'un des deux facteurs est -∞.
Pour les mêmes raisons :
Si A est intègre, les éléments inversibles de A[X], sont les éléments inversibles de A (identifiés aux polynômes 'constants'). Ce que l'on peut traduire de façon condensée par A[X]×=A×
La notion d'éléments associés existe bien sûr dans l'anneau A[X].
Nous obtenons donc, en particulier, compte tenu de ce qui précède :
Si A est intègre, deux polynômes sont associés si et seulement si l'un est multiple de l'autre par une constante inversible de A. En particulier deux polynômes associés non nuls ont même degré.
et de plus :
Si A est intègre tout polynôme de A[X] est associé à au plus un polynôme unitaire.
Naturellement les résultats précédents valent quand A est un corps, puisque tout corps est en particulier un anneau d'intégrité.