A désigne ici un anneau commutatif unitaire. A[[X]] l'algèbre des séries formelles à coefficients dans A, A[X] le sous-ensemble de A[[X]] formé par les polynômes à une indéterminée à coefficients dans A.

Opérations sur A[X]

A[X] est un sous-A-module de A[[X]].

Les opérations impliquées sont bien sûr l'addition et la multiplication par un scalaire (revoir ce résultat).

Il suffit de remarquer que la somme de deux polynômes est un polynôme et que le produit d'un polynôme par un scalaire est un polynôme. Cela résulte tout simplement de la définition des polynômes et des opérations. Le neutre de l'addition est le polynôme nul. L'opposé d'un polynôme est le polynôme dont tous les coefficients sont les opposés du polynôme initial.
Nous considérons maintenant A[[X]] avec sa structure d'anneau induite par le produit de convolution (ou de Cauchy).
A[X] est un sous-anneau de A[[X]].

Il suffit de voir que A[X] est non vide, contenant en particulier 0=(0,0,...,0) et 1=(1,0,0,...,0,). Nous savons en outre que (A[X],+) est un sous-groupe abélien de (A[[X]],+) en vertu du résultat précédent.

Il ne reste plus alors qu'à vérifier la stabilité de A[X] pour le produit.

Mais il est clair que si P est de degré m et Q est de degré n. Tout coefficient de la série formelle PQ d'ordre >m+n est forcément nul.

En conjuguant les deux résultats précédents.

A[X] devient donc une sous-A-algèbre de A[[X]].

Propriété universelle de A[X]

Soit A, B deux anneaux et φ:A→B un morphisme d'anneaux de A dans B. Soit b un élément quelconque de B. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux Φ:K[X]→B prolongeant φ (Φ(x)=φ(x)) et tel que Φ(X)=b. En particulier si B est une A-algèbre Φ est un morphisme de A-algèbres (donc une application linéaire).
On a déjà vu que la fonction qui à un polynôme associe sa valeur en b est un tel morphisme. L'unicité provient du fait que K[X] est généré par X sur K.

Retour sur les notations

Notons que la série formelle X=(0,1,0,...,0) est un polynôme et même un monôme.

Il en est de même de :

L'écriture $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ peut maintenant être vue non plus comme une simple notation. Le second membre a un sens du point de vue de la structure d'anneau de A[X].

Il en résulte immédiatement que :
Le A-module A[X] est libre, mais n'est pas de type fini.

En effet (1,X,X2,...,Xn) est une base (dénombrable) de A[X] sur A.

Il suffit alors pour finir d'appliquer ce théorème.

Degré et opérations algébriques

Addition

IL est clair que:
Le degré d'une somme P+Q ne peut excéder max(d°(P),d°(Q))
Cependant on remarquera par exemple que d°(P+(-P))=-∞. de sorte que l'égalité d°(P+Q)=max(d°(P),d°(Q)) ne peut être garantie que si d°(P)≠d°(Q).

Produit par un scalaire

Il est clair que si λ∈A :
d°(λP)≤d°(P)

Cependant, cette fois encore l'égalité n'est jamais acquise, soit parce que λ=0 soit parce que λ et le coefficient dominant de P sont deux diviseurs de 0 associés dans A.

Cependant :
d°(λP)=d°(P) si les deux conditions suivantes sont réalisées :

Produit de convolution

Il est clair que :
d°(PQ)≤d°(P)+d°(Q)
Toutefois, cette fois encore, on n'a pas forcément l'égalité sauf si A est intègre.
Pour tout anneau intègre et tout couple de polynômes (P,Q),d°(PQ)=d°(P)+d°(Q)
Cela résulte du fait que le coefficient dominant du produit est le produit des coefficients dominants de chacun des polynômes.

Valeur d'un polynôme

B étant un sur-anneau de A, et la valeur d'un polynôme étant définie comme ici.

L'application P→P(b) de A[X] dans B est un homomorphisme d'anneaux.

La preuve se résume à une simple vérification tenant compte des définitions des opérations et de la définition de la valeur d'un polynôme en un point.

Représentations en informatique

Voici une représentation de l'anneau des polynômes à coefficients dans ℤ avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :

Voici une représentation de l'anneau des polynômes à coefficients dans ℤ/5ℤ avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :