Comme toujours A désigne un anneau commutatif et unitaire.

Définitions

Soit M un A-module et m∈M et soit S⊆M.
  • On dit que m est 'un élément de torsion' s'il existe λ∈A, non diviseur de 0 tel que λm=0. L'ensemble des éléments de torsion est noté TA(M).
  • On dit que M est 'de torsion' si TA(M)=M et 'sans torsion' si TA(M)={0} .
  • On note AnnA(S) l'ensemble des éléments λ de A tels que pour tout s∈S on ait λs=0. AnnA(S), se nomme "l'annulateur de S".

Exemples

  1. Si A=ℤ et M=ℤn, alors M est sans torsion.
  2. Si A=ℤ et M=ℤ/nℤ alors TA(M)=M car pour tout x∈M on a nx=0.
  3. ℚ est un ℤ-module dont ℤ est un sous-module. On peut donc considérer le ℤ-module quotient M=ℚ/ℤ. Soit (p,q)∈(ℤ*)2 alors q(p/q)=p∈ℤ donc q(p/q)=0. cette fois encore TA(M)=M.
  4. ℝ est un ℤ-module dont ℤ et ℚ sont des sous ℤ-modules. On peut donc considérer le module quotient ℝ/ℤ.. Si x∈ℝ alors x est de torsion ssi il existe q∈ℤ tel que qx∈ℤ ce qui implique que x∈ℚ. La réciproque est évidente, il s'en suit que Tℤ(ℝ/ℤ)=ℚ/ℤ.

Propriétés

Pour tout A-module M TA(M) est un sous-A-module de M.

Soient en effet m et m' ∈TA(M) de λm=0 et μm"=0 on tire λμ(m+m')=0.

Si λ et μ sont non nuls et non diviseurs de zéro il en est de même de leur produit.

En outre soit m∈TA(M) et λ non nul et non diviseur de 0 tel que λm=0 alors si μ est un scalaire quelconque λ(μm)=(λμ)m=(μλ)m=μ(λm)=μ0=0.
TA(M) est appelé le 'sous-module de torsion' de M
.
Pour toute partie S de M l'annulateur de S est un idéal de A.

Soient λ et μ deux éléments de AnnA(S) et soit x un élément de S. Alors (λ+μ)x=λx+μx=0+0=0.

Si ν est un élément quelconque de A (νλ)x=ν(λx)=ν0=0 donc νλ∈AnnA(S).
Soit M un A-module libre alors M est sans torsion.

Soit en effet $\mathfrak{B}$=(mi)i∈I une base de m.

Supposons que m soit un élément de torsion de M.

Décomposons m suivant la base $\mathfrak{B}$.

$$m=\sum_{i\in I }^{ }\lambda _{i}m_{i}$$

m étant non nul les λi sont non tous nuls.

Soit maintenant λ non nul et non diviseur de 0 tel que λm=0.

Alors : $$\lambda m=\sum_{i\in I }^{ }\lambda \lambda _{i}m_{i}=0$$

Tous les λλi sont nuls (propriété des bases).Soit maintenant j tel que λj≠0 on a λλj=0 avec λ et λj tous deux non nuls et λ non diviseur de zéro. C'est une contradiction.

Le résultat suivant affirme qu'on peut toujours fabriquer un module sans torsion à partir d'un module arbitraire.

Soit M un A-module alors M/TA(M) est sans torsion.

Suivant l'usage, pour tout x de M x désigne sa classe modulo TA(M).

Soit m∈M et supposons que m soit de torsion. Il existerait alors a∈A non nul et non diviseur de 0 tel que am=0, ce qui équivaut à dire que am∈TA(M).

Il existerait alors b∈A non nul et non diviseur de 0 tel que b(am)=(ba)m=0. Mais alors ab est non nul et non diviseur de zéro, cela entraîne que m∈TA(M), donc que m=0=0.

Le résultat vu plus haut non dit que tout module libre est sans torsion, mais la réciproque n'est pas vraie.

En utilisant cet exemple un contre exemple sera fourni par un anneau intègre et non principal. Par exemple ℤ[X], l'idéal (2,X) engendré par 2 et X n'est pas principal. D'une façon générale A intègre ⇒ A[X] intègre mais A[X] n'est principal que si A est un corps.