A désigne, comme toujours dans ce chapitre un anneau commutatif unitaire.
M et N désignent des modules sur l'anneau A.
h:M→N désigne un morphisme de A-modules de M dans N. Ce qui entraîne en particulier que h est un morphisme de groupes abéliens additifs de (M,+) dans (N,+). En tant que tel il a un noyau et une image qui sont a priori des sous-groupes de M et N respectivement.
Toutefois on peut dire un peu plus.
Nous allons maintenant imiter ce qui a été fait pour les groupes, c'est à dire définir une structure quotient, introduire une surjection canonique et factoriser les homomorphismes possédant une certaine propriété via cette surjection.
Soit M un A-module et H un sous-A-module de M. Nous savons déjà que H est un sous-groupe abélien, donc distingué et nous pouvons former le groupe additif quotient (abélien) M/H. La surjection canonique π:M→M/H étant déjà un morphisme de groupes.
Mais on peut dire un peu plus.
Remarquons déjà que si x et x' sont congrus modulo H cela signifie que x-x'∈H. Mais alors si λ désigne un scalaire quelconque de A λ(x-x') est aussi dans H puisque H est supposé être un sous-module de M. Donc en fait λx-λx' est dans H ce qui veut dire que λx et λx' sont congrus modulo H.
Cette remarque implique que pour toute classe x nous pouvons définir λx comme λx' où x' est un représentant quelconque de x.
On vérifie immédiatement que M/H avec la loi externe ainsi définie devient un A-module.