A désigne, comme toujours dans ce chapitre un anneau commutatif unitaire.

M et N désignent des modules sur l'anneau A.

h:M→N désigne un morphisme de A-modules de M dans N. Ce qui entraîne en particulier que h est un morphisme de groupes abéliens additifs de (M,+) dans (N,+). En tant que tel il a un noyau et une image qui sont a priori des sous-groupes de M et N respectivement.

Toutefois on peut dire un peu plus.

Compte tenu de cette propriété, Im(h) est un sous-A-module de N.
Compte tenu de cette propriété, Ker(h) est un sous-A-module de M.

Nous allons maintenant imiter ce qui a été fait pour les groupes, c'est à dire définir une structure quotient, introduire une surjection canonique et factoriser les homomorphismes possédant une certaine propriété via cette surjection.

Soit M un A-module et H un sous-A-module de M. Nous savons déjà que H est un sous-groupe abélien, donc distingué et nous pouvons former le groupe additif quotient (abélien) M/H. La surjection canonique π:M→M/H étant déjà un morphisme de groupes.

Mais on peut dire un peu plus.

M/H peut être muni d'un loi externe A×M/H→M/H (λ,x)→λx lui conférant une structure de A-module.

Remarquons déjà que si x et x' sont congrus modulo H cela signifie que x-x'∈H. Mais alors si λ désigne un scalaire quelconque de A λ(x-x') est aussi dans H puisque H est supposé être un sous-module de M. Donc en fait λx-λx' est dans H ce qui veut dire que λx et λx' sont congrus modulo H.

Cette remarque implique que pour toute classe x nous pouvons définir λx comme λx' où x' est un représentant quelconque de x.

On vérifie immédiatement que M/H avec la loi externe ainsi définie devient un A-module.
Le A-module M/H ainsi défini s'appelle le 'module quotient' de M par H.
M et H étant comme ci-dessus, la surjection canonique π:M→M/H qui est un homomorphisme surjectif de groupes devient en fait un morphisme de A-modules lorsque M/H est muni de la structure de A-module définie ci-dessus.
Cela résulte immédiatement de la définition même de la loi externe sur M/H.
Nous pouvons donc appliquer les deux résultats précédents au cas où H=Ker(h), h étant un homomorphisme de A-modules. Nous avons alors le même énoncé que pour les groupes, mais avec des morphismes de modules en lieu et place des morphismes de groupes.
Soit h:M→N un homomorphisme de A-modules. Alors il existe un homomorphisme surjectif π:M→M/Ker(h) et un homomorphisme injectif φ:M/Ker(h)→N tels que h=φ$\circ$π.