K désigne un corps commutatif de caractéristique 0. Ceci sous-entend en particulier que K contient un sous-corps isomorphe à ℚ et que tout entier non nul est inversible dans K.
Cas de deux indéterminées
K[X,Y] désigne l'anneau des polynômes à deux indéterminées à coefficients dans K.
Pour que P∈K[X,Y] soit homogène de degré n, il faut et il suffit que :
$X\frac{\partial P}{\partial X}+Y\frac{\partial P}{\partial Y}=nP$Supposons P homogène de degré n, alors P s'écrit :
$P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^{i}Y^{n-i}$
d'où :
$X\frac{\partial P}{\partial X}+Y\frac{\partial P}{\partial Y}=\sum_{i=0}^{n}ia_iX^{i}Y^{n-i}+\sum_{i=0}^{n}(n-i)a_iX^{i}Y^{n-i}=nP$
Réciproquement, supposons qu'on ait :
$X\frac{\partial P}{\partial X}+Y\frac{\partial P}{\partial Y}=nP$
Nous savons que tout polynôme P de K[X,Y] s'écrit de façon unique $P=\sum_{i}^{ }P_i$ où chaque Pi est nul ou homogène de degré i.
Nous avons donc :
$nP=X\frac{\partial P}{\partial X}+Y\frac{\partial P}{\partial Y}=\sum_{i}^{ }\left ( X\frac{\partial P_i}{\partial X}+Y\frac{\partial P_i}{\partial Y} \right )=\sum_{i}^{ }iP_i$
Et par suite :
$\sum_{i}^{ }nP_i=\sum_{i}^{ }iP_i$Ce qui entraîne, compte tenu de l'unicité des composantes homogènes :
$(n-i)P_i=0 \text { pour }i\neq n$ car K est de caractéristique 0.
Donc en définitive $P=P_n$ et P est homogène de degré n.
Cas de n indéterminées
Le théorème précédent se généralise comme suit :
Soit K un corps commutatif de caractéristique 0 et P∈K[X1,…,Xn].- P est homogène de degré d.
- $\sum_{i=1}^{n}X_i\frac{\partial P}{\partial X_i}=dP$