Définition

L/K étant une extension de corps, on dit que c'est une extension 'simple' s'il existe a∈L tel que L=K(a).

Introduisons maintenant une nouvelle notation.

Nous notons K[a] le sous-anneau de L engendré par K et a.

K[a] est donc l'intersection de tous les sous-anneaux de L contenant K∪{a}, de sorte que K[a] est défini exactement comme K(a) en remplaçant le mot 'sous-corps' par le mot 'sous-anneau'. En outre étant donné qu'un corps est en particulier un anneau, on a toujours :

K[a]⊂K(a)
Remarquons qu'il est possible que K[a]=K(a). C'est trivialement le cas quand a∈K, mais également dans d'autres cas intéressants.

Nous allons maintenant caractériser les éléments de K[a].

L'application P→P(a), où P(a) désigne la valeur de P en a, est un homomorphisme d'anneaux de K[X] dans L.

La preuve est évidente.

L'image par ce morphisme de K[X] est l'ensemble des éléments de L qui peuvent s'écrire $\sum_{i=0}^{n}\alpha _ia^{i}$ où les $\alpha_i$ sont des éléments de K. C'est clairement un sous-anneau de L contenant en particulier a. Réciproquement tout sous-anneau de L contenant a doit contenir tous les éléments de L de la forme $\sum_{i=0}^{n}\alpha _ia^{i}$. K[a] est donc entièrement caractérisé et c'est un sous-anneau de K(a).

Exemples

  1. Cet exemple 6 est une extension simple ℚ(√2)=ℚ[√2] de ℚ.
  2. ℂ=ℝ[i]=ℝ(i) est une extension simple.
  3. K(X), corps des fractions rationnelles à une indéterminée à coefficients dans K, est une extension simple de K.
  4. Notons que des extensions générées par des parties ayant plus d'un élément peuvent se révéler être simples. Autrement dit E étant une partie quelconque de L, E n'est pas forcément minimale du point de vue de la génération, c'est à dire qu'il peut exister F de cardinal inférieur à celui de E tel que K(F)=K(E). Le lecteur pourra démontrer à titre d'exercice que ℚ(√2,√3)=ℚ(√2+√3).