L/K désigne ici une extension de corps.

Définition

Un élément t de L qui n'est pas algébrique sur K est dit 'transcendant' sur K.

Un tel élément n'est donc racine d'aucune équation algébrique P(x)=0 où P est un polynôme de K[X].

Une extension L/K est dite 'transcendante' si elle n'est pas algébrique.

Cela signifie que dans une extension transcendante L/K, il existe au moins un élément transcendant.

Il résulte de la définition que :

Une extension transcendante ne peut être finie.
(revoir ce résultat).

Exemples

Le premier exemple, et le plus simple, est l'extension K(X)/K qui est simple (engendrée par X) et n'est pas finie puisque le système (1,X,X2,...,Xn,...) est libre sur K[X]. Revoir alors ce résultat en contraposant.

Extensions transcendantes simples.

L'exemple ci-dessus caractérise d'ailleurs toutes les extensions transcendantes simples dans la mesure où :
Si a élément de l'extension L/K est transcendant sur K, alors K[a] est isomorphe en tant qu'anneau à K[X] et K(a) isomorphe en tant que corps à K(X).

Le premier point provient du fait que P;→P(a) est un homomorphisme d'anneaux clairement surjectif par définition de K[X] sur K[a] et injectif si a est transcendant.

Le second point provient de la définition de K(a) et de la définition de K(X).

Nombres réels transcendants

Nous nous intéressons maintenant au cas de l'extension ℝ/ℚ.

Toute construction 'simple' à partir d'opérations simples (somme, produit, quotient, extraction de racines de tous ordres ) sur des éléments simples (rationnels) conduit à des éléments algébriques. Il est donc hors de question de donné un exemple construit 'algébriquement' de la sorte, ces méthodes conduisent au mieux à des éléments irrationnels, mais pas transcendants.

La situation était telle au 17° siècle que la communauté scientifique doutait même de l'existence de tels nombres. Le mot 'transcendant' est dû à Leibniz qui fut un des tous premiers à croire à cette éventualité.

Historiquement c'est Joseph Liouville qui en 1844 exhiba le premier un nombre transcendant, la 'constante de Liouville'. Ce nombre est fabriqué ad-hoc pour être un exemple, ce n'est pas une constantes universelle des mathématiques.

Par la suite c'est Charles Hermite qui en 1873 montra que le nombre e, la base des logarithmes népériens, est transcendant.

Quelques années plus tard, en 1882, Ferdinand von Lindeman, démontra la transcendance du nombre π mettant ainsi fin, par la négative, au fameux problème de la quadrature du cercle.

Cette situation est en effet paradoxale, parce qu'en fait les nombres transcendants sont très nombreux, et d'une certaine façon infiniment plus nombreux que les nombres algébriques. Plus précisément :
Les nombres réels algébriques sur ℚ sont dénombrables.

Notons d'abord que ℚd[X], l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels de degré donné d, est un ensemble dénombrable. En effet cet ensemble est en bijection avec ℚd. Sachant alors que ℚ est lui-même dénombrable, et que tout produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable, notre assertion suit.

Maintenant l'ensemble ℚ[X] de tous les polynômes à coefficients rationnels, quel que soit leur degré, est à son tour dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. puisque $\mathbb{Q}[X]=\bigcup_{d=0}^{\infty }\mathbb{Q}_d[X]$.

Pour tout polynôme P l'ensemble des racines de P est fini et au plus égal à son degré. Il s'en suit que les nombres réels algébriques sur ℚ forment une réunions dénombrables d'ensembles finis et une telle réunion est elle-même dénombrable.

Il en résulte que :
Les nombres transcendants ont la puissance du continu.
En effet s'ils étaient dénombrables ℝ serait réunion de deux ensembles dénombrables, donc lui-même dénombrable.

Cela veut dire que si on se place du point de vue de la théorie de la mesure de Lebesgue, ou du point de vue probabiliste 'les nombres réels sont 'presque tous' transcendants, puisque leur complémentaire, les nombres algébriques sont dénombrables, donc de mesure nulle.