Soit K un idéal de A/I. D'après ce que nous avons vu ici, J=p^-1(K) est un idéal de A. Si x∈I p(x)=0 donc p(x)∈K c'est à dire x∈J. Ceci montre que I⊆J. Par définition de J on a p(J)⊆K. Réciproquement soit x∈K avec x∈A ; comme p(x)=x∈K on a x∈p^-1(K)=J et donc x=p(x)∈p(J). En résumé K=p(J), ce que l'on note K=J/I.
Pour l'unicité voir ce théorème, les idéaux étant en particulier des sous-groupes additifs, donc distingués.

1. En raison de ce résultat il suffit de montrer la primalité de f^-1(Q).Supposons que xy∈f^-1(Q), donc f(xy)∈Q , donc f(x)f(y)∈Q. Ce qui entraîne soit f(x)∈Q soit f(y)∈Q, c'est à dire soit x∈f^-1(Q) soit y∈f^-1(Q).
2. Toujours d'après la seconde assertion de ce résultat et sachant que f est surjectif, f(P) est un idéal de B. Montrons que f(P)≠B. Si B était égal à f(P) alors ∀a∈A il existerait x dans P tel que f(a)=f(x). Donc a-x∈Ker(f) puisque Ker(f)⊆P on aurait a-x∈P donc a∈P donc P=A ce qui contredit la primalité de P.
   Nous avons donc vu que f(P)est un idéal de B distinct de B. Il reste à prouver la primalité de f(P). Soient a et b ∈B tels que ab∈f(P). Par surjectivité de f il existe x et y dans A tels que f(x)=a et f(y)=b. Il existe donc c∈P tel que f(ab)=c. On a donc f(xy)=f(x)f(y)=f(c) ce qui prouve que xy-c∈Ker(f). Comme Ker(f)⊆P on a xy-c∈P, donc xy∈P. La primalité de P implique que soit x∈P soit y∈P donc soit a∈f(P) soit b∈f(P).
3. Pour ce point il suffit d'utiliser le théorème précédent avec B=A/I et f la surjection canonique A:→A/I

Soit E l'ensemble des idéaux propres de A. Alors E est non vide puisque I∈E. E est partiellement ordonné pour l'inclusion. E est 'inductif' en ce sens que toute partie totalement ordonnée de E possède un majorant (voir par exemple cette page).
Il suffit alors d'appliquer le 'lemme de Zorn' équivalent à l'axiome du choix dans la théorie de Zermelo Fraenkel).

Soit I un idéal de A distinct de A. D'après le théorème de Krull A/I possède un idéal maximal N.En utilisant le premier théorème de cette page, il existe un unique idéal M de A contenant I tel que N=M/I où M/I désigne l'image p(M) de M par la surjection canonique p:A→A/I. on se propose de montrer que M est maximal. Soit alors J un idéal de A vérifiant I⊆M⊆J⊆A. On a donc par passage aux quotients M/I⊆J/I⊆A/I. La maximalité de N=M/I implique J/I=M/I ou J/I=A/I c'est à dire J=M ou J=A. Ceci démontre les deux premiers points.
Pour le dernier point si x est non inversible dans A I=Ax n'est pas égal à A. Il suffit donc d'appliquer ii.

Il suffit d'appliquer le théorème de Krull à l'anneau A/I. A/I possède donc un idéal maximal, et l'image réciproque de cet idéal par la surjection canonique A→A/I est l'idéal cherché.