K désigne un corps commutatif infini.
K[X1,...,Xn] désigne l'anneau des polynômes à n indéterminées à coefficients dans K.
Nous associons ainsi à tout polynôme P une fonction p:Kn→K définie par $p(x_1,...,x_n)=P(x_1,...,x_n)$.
Il est clair que :
- la fonction polynomiale associée à P+Q est p+q.
- La fonction polynomiale associée à λP est λp.
- La fonction polynomiale associée à PQ est pq.
Nous faisons la démonstration dans le cas de deux indéterminées.
Supposons donc que :
$$P(x,y)=\sum_{i=0,j=0}^{i=m,j=n}a_{(i,j)}x^{i}y^{j}=0 \text { pour tout} (x,y)\in K^{2}$$En faisant x=0 on voit que la partie de P ne comportant que des puissance de Y comporte une infinité de racines et est donc identiquement nulle d'après ce théorème.
Pour la même raison En faisant y=0 on voit que la partie de P ne comportant que des puissance de X comporte une infinité de racines et est donc identiquement nulle.
Ceci entraîne en particulier que si le degré total de P est ≤1 et si p=0 alors P=0, car alors P ne contient que des termes constants des monômes en X et des monômes en Y.
Nous raisonnons maintenant par récurrence sur le degré total de P. Comme nous l'avons vu ci-dessus si p=0 P est factorisable par XY. Donc $P(X,Y)=XYQ(X,Y)$ où d°(Q)=d°(P)-2 et Q possède une infinité de racines (x,y), en fait tous les couples (x,y) avec x≠0 et y≠0. Il s'en suit par hypothèse de récurrence que Q est identiquement nul.
La démonstration se généralise sans difficulté au cas de n indéterminées.
Voici une application avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :