K désigne un corps commutatif infini.

K[X1,...,Xn] désigne l'anneau des polynômes à n indéterminées à coefficients dans K.

Pour tout polynôme $P=P(X_1,...,X_n)=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=k_1 ,...,i_n=k_n }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$ de K[X1,...,Xn], et tout n-uple (x1,...,xn)∈Kn, nous définissons la 'valeur' de P en (x1,...,xn)∈Kn comme étant le scalaire $P(x_1,...,x_n)=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=k_1 ,...,i_n=k_n }a_{(i_1,...,i_n)}x_{1}^{i_{1}}...x_{n}^{i_{n}}$, obtenu en substituant chaque xi à chaque Xi

Nous associons ainsi à tout polynôme P une fonction p:Kn→K définie par $p(x_1,...,x_n)=P(x_1,...,x_n)$.

p s'appelle la 'fonction polynomiale' (à n variables) associée à P.

Il est clair que :

  • la fonction polynomiale associée à P+Q est p+q.
  • La fonction polynomiale associée à λP est λp.
  • La fonction polynomiale associée à PQ est pq.
Ainsi l'application P→p de K[X1,...,Xn] dans l'ensemble des applications de Kn dans K est une application linéaire ainsi qu'un morphisme d'anneaux.
Nous nous intéressons maintenant au noyau du morphisme ci-dessus, et nous affirmons que :
Dans les hypothèses ci-dessus (K infini) ce noyau est réduit au polynôme nul.

Nous faisons la démonstration dans le cas de deux indéterminées.

Supposons donc que :

$$P(x,y)=\sum_{i=0,j=0}^{i=m,j=n}a_{(i,j)}x^{i}y^{j}=0 \text { pour tout} (x,y)\in K^{2}$$

En faisant x=0 on voit que la partie de P ne comportant que des puissance de Y comporte une infinité de racines et est donc identiquement nulle d'après ce théorème.

Pour la même raison En faisant y=0 on voit que la partie de P ne comportant que des puissance de X comporte une infinité de racines et est donc identiquement nulle.

Ceci entraîne en particulier que si le degré total de P est ≤1 et si p=0 alors P=0, car alors P ne contient que des termes constants des monômes en X et des monômes en Y.

Nous raisonnons maintenant par récurrence sur le degré total de P. Comme nous l'avons vu ci-dessus si p=0 P est factorisable par XY. Donc $P(X,Y)=XYQ(X,Y)$ où d°(Q)=d°(P)-2 et Q possède une infinité de racines (x,y), en fait tous les couples (x,y) avec x≠0 et y≠0. Il s'en suit par hypothèse de récurrence que Q est identiquement nul.

La démonstration se généralise sans difficulté au cas de n indéterminées.

Nous pouvons donc affirmer, avec les notations ci-dessus, que P→p est un morphisme d'anneaux injectif, permettant d'identifier les polynômes à plusieurs indéterminées et les fonctions polynomiales à plusieurs variables associées.

Voici une application avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :