Nous rappelons que K désigne ici un corps commutatif. K est donc en particulier un anneau intègre.

K[X] désigne l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K, qui est donc muni d'une structure d'espace vectoriel sur K et d'une structure additionnelle d'anneau intègre (revoir ce résultat).

Nous rappelons, de plus, que K[X] est un anneau euclidien, donc principal, donc factoriel (revoir cette page).

Nous invitons le lecteur à revoir avant tout la théorie du PPCM dans les anneaux principaux.

Nous n'avons plus maintenant qu'à traduire ces résultats dans le langage et avec la notation des polynômes.

Définition et propriétés

Soient $P_{1},...,P_{n}$ n polynômes non nuls de K[X]. L'idéal principal intersection $(P_{1})\cap (P_{2})\cap ...\cap (P_{n})$ est engendré par un polynôme P.

$K[X].P=K[X]P_{1}\cap K[X]P_{2}\cap ....\cap K[X]P_{n}$

P est un multiple de P1,P2, ...,Pn et tout multiple commun à tous les Pi est un multiple de P.

D s'appelle le 'Plus Petit Commun Multiple' des Pi. Notation D=PPCM(P1,P2,...,Pn)
Le résultat suivant est pratiquement évident :
Si on multiplie tous les Pi par un même facteur P le PPCM de la nouvelle famille obtenue est lui-aussi multiplié par P.
Le PPCM d'une famille de polynômes peut s'obtenir à partir de leurs décompositions en facteurs irréductibles.
Voir par exemple ce résultat
Pour P1 et P2 polynômes de K[X]. PGCD(P1,P2)×PPCM(P1,P2) est associé à P1×P2.

Cela résulte du théorème précédent ainsi que de ce théorème.

On peut également pour une démonstration directe revoir ce résultat

Ce résultat n'est pas généralisable à un nombre quelconque de polynômes.

Représentations en informatique

Voici un exemple de calcul de ppcm avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :