Nous rappelons que K désigne ici un corps commutatif.
K[X] désigne l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K, qui est donc muni d'une structure d'espace vectoriel sur K et d'une structure additionnelle d'anneau intègre (revoir ce résultat).
Le résultat principal est le suivant :
K[X] est un anneau euclidien.
C'est tout simplement parce que l'application P→d°(P) est un stathme euclidien.
Il s'en suit que :
K[X] est un anneau principal.
Cela résulte immédiatement de ceci.
La conséquence est, par définition même d'un anneau principal, que les idéaux principaux considérés dans cette page, sont en faits les seuls idéaux de K[X].
Mais nous avons aussi comme conséquence :
K[X] est factoriel
Cela résulte de ce théorème
Il résulte encore de cela qui si $\wp$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de K[X] :
Tout polynôme P de K[X] admet une décomposition unique comme produit d'éléments de $\wp$.
Cela résulte directement de ce théorème.