A désigne, comme dans tout ce chapitre, un anneau commutatif unitaire.

On suppose connue la définition des polynômes en les indéterminées (Xi)i∈I, et ses propriétés algébriques.

On suppose également connue l'écriture canonique des polynômes de A[(Xi)i∈I].

L'isomorphisme $A \hookrightarrow A\left [ \left ( X_i \right )_{i\in I} \right ]$

A tout scalaire a∈A nous associons le polynôme qui à la fonction identiquement nulle de ℕ(I) associe a, et associe 0 à tout autre élément de ℕ(I), nous notons provisoirement ce polynôme par $\overline{a}$.

Dans ces conditions :
L'application $a \hookrightarrow \overline {a}$ est un homorphisme injectif de A-modules ainsi qu'un homomorphisme injectif d'anneaux, permettant d'identifier A au sous-anneaux des polynômes 'constants' (ne contenant aucune des indéterminées).

La preuve consiste simplement à écrire les formules de définition des morphismes et à les vérifier en tenant compte de la définition des opérations (produit par un sacalire, addition, produit de convolution).

Injection de A[(Xi)i∈I] dans B[(Xi)i∈I]

Cette injection est possible si $A \hookrightarrow B$.

Dans ce cas si l'injection de A dans B est notée $a \rightarrow \overline {a}$, le plongement de A[(Xi)i∈I] dans B[(Xi)i∈I] est $$P=\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(I)}}a_{\alpha }\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _{i}} \rightarrow \overline {P}= \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(I)}} \overline {a_{\alpha }}\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _{i}}$$

Permutation des indéterminées

L'énoncé qui suit est une généralisation des règles de permutation des indéterminées dans le cas d'un nombre fini d'indéterminées.

Soient I, J deux ensembles finis ou non, et soit K leur réunion K=I∪J.

On a plusieurs anneaux de polynômes :

Par ailleurs on peut considérer les deux nouveaux anneaux :

Dans ces conditions :
AI[Xj)j∈J] = AJ[(Xi)i∈I]=AK
Le résultat est intuitif, la démonstration n'est pas compliquée mais elle est lourde à écrire. Nous renvoyons encore le lecteur intéressé par les détails au document de Marc Sage, cité en référence.

Réindexation des indéterminées

Soient I et J deux ensembles en bijection par φ:I ↔ J.

Dans ces conditions :
Les deux A-algèbres A[(Xi)i∈I] et A[(Xj)j∈J] sont isomorphes par l'application : $$\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(J)}}a_{\alpha }\prod_{j\in J}X_j^{\alpha _{j}}\leftrightarrow \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^{(J)}}a_{\alpha }\prod_{i\in I}X_i^{\alpha _{\varphi (i)}}$$

Là encore ce résultat, très intuitif est d'une démonstration délicate que à laquelle Marc Sage ne se dérobe pas.