Définition

Nous utilisons les définitions et les notations de cette page, que nous rappelons ici :

$\mathfrak{G}$ désigne l'ensemble des sous-groupes de Γ(L/K), et par $\mathfrak{F}$ l'ensemble des corps intermédiaires entre K et L.

Pour tout M ∈ $\mathfrak{F}$ nous désignons par M* le groupe de galois Γ(L/M).

Pour tout H ∈ $\mathfrak{G}$ nous désignons par H° le sous-corps de L constitué des invariants de L par H.

Avec ces notations, il est clair que :

M⊆M*° et H⊆ H°*
On dit que L/K est une extension 'galoisienne' si elle est à la fois normale et séparable.

Quelques premiers résultats

Si L/K est une extension galoisienne finie de degré n, il y a exactement n K-automorphismes distincts de L. de sorte que |Γ(L/K)|=n.
Il suffit d'appliquer successivement ce résultat avec N=L et successivement cet autre (lemme 3 2.).
Si L/K est une extension galoisienne de degré fini et de groupe de Galois G, alors K est le corps des invariants de G.

Soit en effet G° le corps des points fixes de G et soit n=[L:K], par le théorème précédent |G|=n et par ce résultat (principal) [L:G°]=n. Comme K⊆G° nous devons avoir K=G°.

Le théorème fondamental

Sa démonstration nécessite un résultat préliminaire (lemme) :
Soit L/K une extension galoisienne finie , M un corps intermédiaire et τ un K-automorphisme de L, alors :

(τ(M))*= τM*τ-1

Enoncé du théorème:

On suppose que L/K est une extension galoisienne de degré fini n et de groupe de Galois G.

Nous conservons les notations introduites ci-dessus en tête de page.

Dans ces conditions :

  1. G est d'ordre n.
  2. Les applications ° et * sont réciproques l'une de l'autre et établissent donc des bijections entre $\mathfrak{F}$ et $\mathfrak{G}$.
  3. Si M est un corps intermédiaire alors :
    • [L:M]=|M*|
    • [M:K]=|G|/|M*|
  4. Un corps intermédiaire M est une extension normale de K si et seulement si M* est un sous-groupe normal de G.
  5. Si un corps intermédiaire M est une extension normale de K alors le groupe de Galois de M/K est isomorphe au groupe quotient G/M*.
  1. Ce point est démontré ci-dessus, ce n'est qu'une répétition.

  2. Nous savons par ce résultat (hérédité)

    3. que L/M est séparable.

    En vertu de ce résultat nous savons que L/M est normale.

    L est donc une extension galoisienne de M. Nous savons donc d'après ce qui précède que M est le corps des invariants de M*. Donc ,

    M*°=M         (1)

    Soit maintenant H∈$\mathfrak{G}$. Nous savons que H⊆H°*.

    Maintenant H°*°=(H°)*°=H° par l'équation (1) ci-dessus. Par ce résultat (principal) nous avons :

    |H|=[L:H°]

    Et donc :

    |H|=[L:H°*°]

    En utilisant à nouveau le même résultat :

    [L:H°*°]=|H°*|

    De sorte que :

    |H|=|H°*|

    Les deux groupes sont donc finis, de même ordre et l'un est inclus dans l'autre, ils sont égaux.

  3. Nous remarquons encore que L/M est galoisienne. Donc en vertu des résultats ci-dessus [L:M]=|M*| et l'autre égalité en résulte immédiatement compte tenu de la règle de multiplication des degrés.

  4. Supposons maintenant que M/K soit normale et soit τ ∈ G.

    Alors τ|M est un K-monomorphisme de M → L donc par ce théorème (lemme 3) c'est un K-automorphisme de M. Donc τ(M)=M. En appliquant le lemme ci-dessus il vient τM*τ-1=M* et M* est donc un sous-groupe distingué de G.

    Supposons réciproquement que M* soit un sous-groupe normal de G. Soit σ un K-monomorphisme quelconque de M → L. Par ce théoreme (extension) ce morphisme se prolonge en un K-automorphisme τ de L, c'est à dire τ|M=σ

    Maintenant puisque M* est un sous-groupe normal de G nous avons τM*τ-1=M*.

    De sorte qu'en appliquant encore une fois le lemme préliminaire il vient(τ(M))*=M*.

    Mais en appliquant la partie 2. du théorème cela signifie que τ(M)=M, donc que σ(M)=M donc σ est un K-automorphisme de M. A nouveau ce résultat (lemme 3) permet de conclure.

  5. Soit maintenant G' le groupe de Galois de M/K. Nous pouvons définir une application Φ G→ G'

    6. par :

    Φ(τ)=τ|M       (τ∈G)

    C'est un homorphisme de groupes parce que toujours par ce lemme3 τ|M est un K-automorphisme de M. Encore une fois le théorème de prolongement , nous dit que Φ est surjective. Le noyau de Φ est M*. De sorte que le théorème standard d'isomorphisme (de groupes), nous donne :

    G'=Im(Φ)≅G/Ker(Φ)= G/M*.