Soit L/K une extension finie et normale et soit (a₁,...,a_n) une base de L en tant que K-espace vectoriel. Soit P_i le polynôme minimal de a_i sur K. Posons maintenant $Q=\prod_{i=1}^{n}P_i$ alors comme L/K est normale chaque Pi est scindé sur L, donc Q est également scindé. Comme L est engendré sur K par des racines de Q, L est un corps de décomposition de Q.

Soit maintenant L le corps de décomposition d'un polynôme Q∈K[X]. C'est une extension finie de K. Soit P∈K[X] un polynôme irréductible qui a une racine a₁ dans L. Soit M/L un corps de décomposition de P et soit a₂ une racine de P dans M. Il suffit de montrer que a₂∈L, cela entraînera que toutes les racines de P dans M sont en fait dans L, donc que P est déjà scindé dans L.

Or pour chaque i∈{1,2} L(a_i) est un corps de décomposition de Q sur K(a_i). D'autre part chaque K(a_i) est un corps de rupture de P sur K, donc il existe un K-isomorphisme σ: K(a₁)↔K(a₂) d'après ce théorème. Les extensions $K(a_1)\hookrightarrow L(a_1)=L$ et $K(a_1) \overset{\sigma }{\leftrightarrow}K(a_2)\hookrightarrow L(a_2)$ sont alors des corps de décomposition de Q sur K(a₁). Elles sont donc K(a₁)-isomorphes d'après ce théorème.

On en déduit que [L:K(x₁)]=[L(a₂):K(x₁)] donc que L=L(a₂) donc que a₂∈L.

Prendre par exemple $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}\left ( \sqrt{2} \right )\subset \mathbb{Q}\left ( \sqrt[4]{2} \right )$.

D'après le théorème précédent si L/K est normale L est le corps de décomposition d'un polynôme Q∈K[X]. Pour tout K-morphisme σL→Ω l'image de L par σ est l'extension de K engendrée par les racines de Q dans Ω, donc ne dépend pas de σ.

Supposons inversement que tous les K-morphismes de L dans ω aient la même image L'. Soit P un polynôme irréductible de K[X] avec une racine a∈L et soit b une racine de P dans Ω.Les corps K(a)⊆L et K(b)⊆Ω sont des corps de rupture de P. En tant que tels ils sont K-isomorphes (revoir ce résultat). On en déduit un K-isomorphisme K(a)↔K(b) ⊆ Ω qui peut s'étendre par ce lemme en un K-morphisme de L→Ω dont l'image est L'. On en déduit que b est dans L'. Le polynôme P est donc scindé dans L' donc dans L puisque ces extensions sont isomorphes. L/K est donc normale.

Soit Ω un corps algébriquement clos contenant M.

D'après ce lemme tout K-morphisme de L dans Ω se prolonge à M. Et puisque M/K est normale, en vertu du résultat précédent il induit un K-automorphisme de M.

Réciproquement tout K-automorphisme σ de M, induit un K-morphisme de L dans Ω. Par le corollaire précédent, l'extension L/K est normale si et seulement si tous les σ(L) sont égaux à L.

Soit σ un automorphisme de K, et soit Ω une extension algébriquement close de L (revoir ce théorème). σ fournit donc un K-morphisme de K dans Ω. Toujours par le même lemme σ se prolonge à L. En vertu du corollaire précédent, l'image de ce prolongement $ L \hookrightarrow \Omega $ est L. On obtient ainsi un automorphisme de L qui prolonge σ.

Soit (a₁,a₂,...a_n) une base du K-espace vectoriel L.

Soit pour chaque i 1≤i≤n P_i le polynôme minimal de a_i sur K.

On pose $ Q=\prod_{i=1}^{n}P_i $ .

Soit M le sous-corps de Ω engendré par les racines de Q. C'est un corps de décomposition de Q.

Donc M/K est finie et normale.

De plus pour tout corps $L\subseteq M'\subseteq \Omega $ telle que M'/K soit normale, le polynôme irréductible P_i à une racine dans M', à savoir a_i.

Donc P_i est scindé dans M', donc aussi Q.

On en déduit que M, qui est engendré par les racines de Q est contenu dans M'.

Par la caractérisation des extensions algébriques simples, il existe un K-automorphisme de K(α) sur K(β). Par ce résultat cet automorphisme s'étend à L.

Soit α∈L et soit m son polynôme minimal sur K. Alors m(σ(α))=σ(m(α))=σ(0)=0. σ(α) est donc un zéro de m et se trouve donc dans N puisque N/K est normale.

1. ⇒ 2. Si L/K est normale alors L est une clôture normale de L/K. Ainsi en vertu du résultat précédent σ(L) ⊆ L. Mais σ est une application K-linéaire définie sur l'espace vectoriel L de dimension finie sur K est est injective de sorte que σ(L) à la même dimension que L et est donc égal à L. σ est donc un automorphisme de L.

2. ⇒ 3. Soit N une clôture normale de L/K. N possède les propriétés requises pour 3.

3.⇒ 1. Soit f un polynôme irréductible sur K avec un zéro α ∈ L. Alors par normalité f se décompose sur N et si β est un zéro quelconque de f dans N il existe un automorphisme σ de N tel que σ(α)=β ∈ σ(L)=L. f se décompose donc sur L et L/K est normale.