Nous rappelons que K désigne ici un corps commutatif. K est donc en particulier un anneau intègre.

K[X] désigne l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K, qui est donc muni d'une structure d'espace vectoriel sur K et d'une structure additionnelle d'anneau intègre (revoir ce résultat).

Nous rappelons également la formule d°(PQ)=d°(P)+d°(Q) (rappelée ici).

Multiples et diviseurs

Il n'y a rien de particulier ici que de simples rappels, tout se trouve dans cette page.

le polynôme P est un multiple du polynôme Q s'il existe un polynôme R tel que P=RQ.

Q est un diviseur de P si P est un multiple de Q.

Idéaux

Les idéaux de K[X] sont définis comme dans tous les anneaux commutatifs.

Parmi ces idéaux on trouve les idéaux principaux engendré par un seul élément (multiples d'un seul polynôme générateur). On note conformément aux usages (P) ou bien K[X]P l'idéal principal engendré par P.

P et Q génèrent le même idéal principal s'ils sont associés, c'est à dire s'il diffèrent d'une constante multiplicative non nulle.

Tout idéal principal est engendré par un unique polynôme unitaire.

Polynômes irréductibles

Ce sont les éléments irréductibles de K[X]. Ils sont non constants n'admettent donc pour diviseurs propres (non associés) que les constantes non nulles.

Remarquons tout de suite que, pour une question de degré :

Cependant il peut exister des polynômes irréductibles de degré >1 (par exemple X²+1 dans ℝ[X])

Cependant le polynôme ci-dessus qui est irréductible dans ℝ[X], ne l'est pas dans ℂ[X] puisqu'il se factorise en (X-i)(X+i). La notion d'irréductibilité dépend donc essentiellement du corps de base.

Pour donner un autre exemple de cette situation le polynôme X²-2 est irréductible dans ℚ[X] mais pas dans ℝ[X].

Voici exemple d'application avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :