Il suffit de trouver un contre exemple.

Notons que tout anneau considéré comme module sur lui-même est de type fini. A=(1).

Il suffit donc d'exhiber un anneau non noethérien.

On dit qu'un nombre complexe est un 'entier algébrique' s'il est racine d'un polynôme unitaire (monique à coefficient dominant 1) et à coefficients dans ℤ. On peut montrer que les entiers algébriques forment un anneau, sous-anneau de ℂ.

Par exemple les racines carrées de 2 racines de z²-2=0 sont des entiers algébriques, de même que les racines 4-ièmes, solutions de z⁴-2=0, et d'une façon générale les racines 2n-èmes solutions de z²ⁿ-2=0.

On définit par récurrence une suite (a_n) d"éléments de A avec a₀=2, et a_n²=a_n-1.

Ce faisant si on pose I_n=(a_n) on définit bien une suite d'idéaux emboîtés I₀⊂I₁⊂...⊂I_n.

La suite d'idéaux est strictement croissante car si (a_k)=(a_k+1) il existerait b∈A tel que a_k+1=ba_k. De la définition de la suite (a_n) on tire $2_{k+1}^{2^{k+1}}=b^{2^{k+1}}2_{k}^{2^{k+1}}$ et finalement $2b^{2^{k+1}}=1$ ce qui est absurbe car alors 2 serait inversible dans A et l'idéal engendré par 2 serait égal à A tout entier. Cela dit, en vertu de ce résultat, $I=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}^{ }I_{n}$ est un idéal de A. Or I ne peut être engendré par un nombre fini d'éléments car ces éléments se trouveraient alors dans un même (a_p) et les I_n seraient stationnaires à partir du rang p.

Soit A un anneau noethérien et M un A-module de type fini engendré par m₁, m₂, ...,m_r et soit N un sous-module de M.

On considère l'application Φ:A^r→M définie par $\Phi \left ( a_{1}, a_{2},...,a_{r} \right )=\sum_{i=1}^{r}a_{i}m_{i}$

On montre d'abord que les sous-modules de A^r sont de type fini.

Soit donc N' un sous-module de A^r.

Les projections p_i:A^r→A sont des morphismes surjectifs de A-modules.

On a : $N'=\bigoplus _{i=1}^{r}p_{i}(N')$ et les p_i(N') sont des idéaux de A donc de type fini. Ainsi d'après ce résultat N' est également de type fini.

Prenant en particulier N'=Φ^-1(N). N' est de type fini engendré par des éléments f₁,...,f_k. Alors N est engendré par leurs images Φ(f₁), ...Φ(f_{. En effet sit n∈N}) comme Φ est surjective il existe f∈A^r et des éléments b₁,b₂,...,b_s de A tels que $f=\sum_{i=1}^{s}b_{i}f_{i}$ et n=Φ(f) , d'où $n=\sum_{i=1}^{s}b_{i}\Phi (f_{i})$.

Soit $\mathfrak{N}$={n₁,n₂,...,n_k} une famille génératrice finie de M.

Par hypothèse pour tout i 1≤i≤k il existe des scalaires a_i,m presque tous nuls tels que $n_{i}=\sum_{m\in \mathfrak{M}}^{ }a_{i,m}m$.

Notons $\mathfrak{M}$_i⊆$\mathfrak{M}$ l'ensemble des m tels que a_i,m≠0. C'est un ensemble fini

Donc l'ensemble $\mathfrak{N}= \bigcup_{i }^{ }\mathfrak{M}_{i}$ est aussi fini.

Tout élément de M s'écrit comme combinaison linéaire des n_i et tout n_i comme combinaison linéaire d'éléments de $\mathfrak{N}$.

$\mathfrak{N}$ est donc une sous-famille génératrice finie de$\mathfrak{ M}$.

En effet soit M un tel module. M possède a priori une base (peut-être infinie). Mais s'il est de type fini on peut extraire de cette base, qui est génératrice, une famille génératrice finie. Cette famille étant une sous-famille d'une famille libre est donc libre et répond à la définition d'une base.

Si (m₁,...,m_n) est une famille génératrice de M alors (m₁,...,m_n)=(m₁+N,...,m_n+N) est une famille génératrice de M/N.

Soit (m₁,..,m_n) une famille génératrice de M en tant que A-module.

Alors pour tout m de M il existe (a₁,...,a_n) de A tels que : $m=\sum_{i=1}^{n}a_{i}m_{i}$.

Et par définition de l'action de A : $m=\sum_{i=1}^{n}f(a_{i})m_{i}$