En vertu du théorème fondamental de l'algèbre, $\mathbb{C}$ contient un corps de décomposition de f, disons Σ.

Soit G le groupe de Galois de f sur $\mathbb{Q}$. Alors G permute les zéros de f qui sont tous distincts car f est irréductible et que nous sommes en caractéristique 0. G est donc un sous-groupe de S_p.

Lorsque nous construisons un corps de décomposition de f nous adjoignons d'abord une racine ω de degré p, c'est à dire que nous avons :

$$\mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{Q}(\omega ) \hookrightarrow \Sigma \hookrightarrow \mathbb{C}$$

De sorte que [Σ:$\mathbb{Q}$] est divisible par p.

Par le théorème fondamental de la théorie de Galois, p divise l'ordre de G.

D'après le théorème de Cauchy , G possède un sous-groupe cyclique d'ordre p.

La conjugaison complexe $z\rightarrow \overline{z}$ échange les racines de f puisqu'il est à coefficients rationnels et induit donc par restriction un $\mathbb{Q}$-automorphisme de Σ, qui laisse fixe les p-2 racines réelles de f et échange les deux racines non réelles. G contient donc un cycle d'ordre 2, c'est à dire une transposition.

Q

uitte à renommer les racines on peut supposer que les deux premières racines sont les racines complexes. Dans ces conditions on voit qu'on peut supposer que G contient le cycle c=(12...p) et la transposition t=(12).

Mais on voit que c^-1tc=(23) et c^-1(23)c=(34), etc...

On voit donc que G contient toutes les transpositions (k,k+1) et c'est un résultat connu que ces transpositions engendrent le groupe S_p.

G est donc S_p.

Par le critère d'Eisenstein ce polynôme est irréductible sur $\mathbb{Q}$.

p est de degré 5, premier.

Voici la représentation graphique de la fonction polynomiale associée $\mathbb{R}$ → $\mathbb{R}$.

Il est clair que comme pour tous les polynômes de degré impair :

$$\lim_{x\rightarrow -\infty }p(x)=-\infty \text { et }\lim_{x\rightarrow +\infty }p(x)=+\infty$$

On s'intéresse maintenant au polynôme dérivé p'(x)= 5x⁴-6 qui se factorise ainsi :

$$p'(x)=\left ( x-\sqrt[4]{6/5} \right )\left ( x-\sqrt[4]{6/5} \right )\left ( x^{2}+\sqrt{6/5} \right )$$

Avec cette écriture l'étude du signe de p' (donc de la variation de p) devient claire.

x	-∞		$-\sqrt[4]{6/5}$		$+\sqrt[4]{6/5}$		+∞
p'(x)		+	0	-	0	+
p(x)	-∞	↗	M>0	↘	m<0	↗	+∞

Il devient donc clair par la continuité de p et le théorème dit 'des valeurs intermédiaires' que le graphe de p coupe exactement 3 fois l'axe des abscisses.

Il y a donc trois racines réelles distinctes pour le polynôme p.

Aucune de ces racines n'est multiple car alors elle serait racine de p' or les deux racines de p' ne sont pas racines de p.

En conclusion p possède exactement deux racines complexes distinctes et nous sommes exactement dans les conditions d'application du lemme précédent.

G_$\mathbb{Q}$(f) est donc S₅ et nous savons par ce résultat que S₅ n'est pas résoluble.