On raisonne par récurrence sur le degré de P.

Si P est de degré 1 alors P=aX+b = a(X+b/a) et P est scindé avec une racine unique -b/a. K est donc un corps de décomposition de P.

Soit donc n un entier n≥2, et supposons le théorème établi pour tout corps et tout polynôme de degré <n.

Soit P(X) un polynôme de K[X] de degré n.

Soit S un facteur irréductible de P et soit K₁=K(α) un corps de rupture de S.

Alors dans K₁ P(X)=(X-α)Q(X) où Q est un polynôme dans K₁[X] de degré n-1.

Par hypothèse de récurrence il existe une extension L/K₁ dans laquelle Q a des racines α₂, ....,α_n et telle que L=K₁(α₂,...,α_n).

Alors (α,α₂,.....,α_n) sont les n racines de P dans L et L est un corps de décomposition de P.

L'isomorphisme τ munit K' et K'[X] d'une structure de K-algèbre.

D'après la propriété universelle de K[X], il existe un unique morphisme de K-algèbres Φ_τ de K[X] dans K'[X] vérifiant la formule ci-dessus.

On obtient de même que l'isomorphisme τ^-1:K'↔K définit un morphisme Φ_τ^-1 de K'[X] dans K[X] et que Φ_τ et Φ_τ^-1 sont réciproques l'un de l'autre.

Ceci démontre la première assertion.

Enfin, pour tout P∈K[X] Φ_τ induit une bijection de (P) sur (τ(P)) et un isomorphisme par passage aux quotients.

On procède par récurrence sur le nombre m de racines de P qui sont dans L mais pas dans K.

Quitte à diviser tous les coefficients de P par son coefficient dominant, on peut supposer P unitaire.

Si m=0, P a toutes ses racines dans K. On peut donc écrire P=(X-λ₁)...(X-λ_n).

Dans ce cas L=K, τ(P)=(X-τ(λ₁))...(X-τ(λ_n)), avec τ(λ_i)∈K'. On a alors L'=K' et on peut prendre σ=τ.

Supposons m entier positif strictement et le théorème établi pour tout m'<m.

Soit P∈K[X] ayant m racines dans L mais pas dans K, et soit P=P₁P₂...P_r sa décomposition en facteurs irréductibles de K[X].

Comme m>0 l'un au moins de ces facteurs, disons P₁, est de degré 2 sans racines dans K.

Par hypothèse, P se scinde dans L[X] comme produit de facteurs de degré 1 (donc irréductibles).

Comme K[X est factoriel, par unicité de la décomposition, chaque P_i est lui-même un produit de ces facteurs linéaires.

En particulier P₁ a toutes ses racines dans L. Soit α l'une d'elles.

On a alors un K-isomorphisme Ψ de K[X]/(P) sur K[α]=K(α) (revoir la démonstration de ce théorème).

D'autre part τ(P)=τ(P₁)...τ(P_r).

Et par le même argument que précédemment chaque τ(P_i) a toutes ses racines dans L'.

Soit β une racine de τ(P₁) dans L'.

Par le même raisonnement que précédemment nous avons un K'-isomorphisme Ψ' de K'[X]/(τ(P₁))sur K'[β].

En appliquant le lemme précédent on a un isomorphisme $\Phi _{\tau }:K[X]/(P_1) \leftrightarrow K'[X]/(\tau(P_1) )$ qui prolonge τ:K↔K'.

Posons K₁=K[α] , K'₁=K'[β] et $\tau _1=\Psi '\circ \Phi _\tau \circ \Psi ^{-1}$.

Alors τ₁ est un isomorphisme de K₁ sur K'₁ qui prolonge τ.

On a le diagramme suivant :

$$\begin{matrix} K & \hookrightarrow & K_1 & \hookrightarrow &L \\ \tau \updownarrow& &\tau _1\updownarrow & & \\ K'& \hookrightarrow & K'_1 & \hookrightarrow &L' \end{matrix}$$

Maintenant L est un corps de décomposition de P sur K₁ et L' est un corps de décomposition de P sur K'₁.

Le nombre de racines de P dans L et non dans K₁ est <m.

Donc par hypothèse de récurrence, il existe un isomorphisme σ:L↔L' qui prolonge τ₁, donc qui prolonge τ.