Soit P un polynôme non constant de A[X] $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ avec les $a_i$ dans A. Il s'agit de montrer que P a toutes ses racines dans A.

Soit donc α∈L tel que P(α)=0, il faut montrer que α∈A.

i.⇒ii.

Soit K₀ un sous-corps strict de L. Soit donc α∈L avec α∉K₀.

L/K étant algébrique L/K₀ l'est aussi. α possède donc un polynôme minimal sur K₀, soit P ∈K₀[X]. P est de degré >1 sinon α serait dans K₀. P étant irréductible, n'est pas décomposé en produit de facteurs du premier degré dans K₀. K₀ n'est donc pas algébriquement clos.

ii.⇒i.

Supposons L/K transcendante. Soit A la fermeture algébrique de L sur K. D"après le théorème précédent A est algébriquement clos aussi. En outre A≠L car A/K est algébrique d'après ce théorème.

En effet si x est algébrique sur K^c_L, alors puisque K^c_L est algébrique sur K, par le principe de transitivité des extensions algébriques x est algébrique sur K donc appartient à K^c_L.

On sait que par sa définition même K^c_L est algébrique sur K. Il suffit donc de montrer que si L est algébriquement clos, K^c_L l'est aussi.

La preuve suivante est due à Emil Artin, elle a été correctement rédigée par Serge Lang et elle est reprise par la plupart des auteurs. Elle est fondée sur la notion de polynôme à une infinité d'indéterminées.

En vertu du théorème précédent, il sufifit de montrer que tout corps K peut être plongé dans un corps algébriquement clos (ie possède une extension algébriquement close).

Désignons par (P_λ)_λ∈Λ la famille indexée de tous les polynômes irréductibles unitaires de K[X].

Nous construisons maintenant la K-algèbre A des polynômes à une infinité de variables A=K[(X_λ)_λ∈Λ].

Soit maintenant I l'idéal de A engendré par les P_λ(X_λ).

Nous montrons que I est un idéal propre de A, c'est à dire un idéal distinct de A.

Dans le cas contraire l'unité de A appartiendrait à I. On aurait donc une relation $1=\sum_{i=1}^{n}Q_iP_{\lambda _i}(X_{\lambda _i})$.

Soit alors M un corps de décomposition sur K du produit des P_λi.

Choisissons une racine α_i pour chaque P_λi dans M.

En substituant α_i à chaque X_λi et 0 aux autres X_λ, il vient $1=\sum_{i=1}^{n}Q_iP_{\lambda _i}(\alpha _i)=0 $ ce qui est absurde.

En appliquant ce résultat il existe un idéal maximal M de A contenant I.

Ce résultat nous permet d'affirmer que K₁=A/M est un corps.

Remarquons maintenant que K s'injecte dans K₁. En effet K s'injecte quand A, et le noyau de la restriction à K de la surjection canonique π:A:→A/M est l'intersection de M avec K, mais si cette intersection comportait un élément non nul M serait égal à A contrairement à l'hypothèse. Donc cette restriction est un morphisme de corps injectif.

Remarquons maintenant que tout polynôme P de K[X] possède une racine dans K₁. Il suffit pour cela de le vérifier pour tout polynôme irréductible. Soit donc P_λ un tel polynôme, nous voyons que l'image de X_λ par la surjection canonique π:A→K₁ est une racine de P_λ.

Cependant K₁ n'est pas encore la solution à notre problème, car il peut exister des polynômes à coefficients dans K₁ n'ayant pas de racines dans K₁.

L'idée est maintenant d'itérer cette construction. Nous construisons K₂ à partir de K₁ comme K₁ à partir de K, puis K₃ à partir de K₂, etc...

Nous fabriquons ainsi une suite d'extensions $K\hookrightarrow K_1 \hookrightarrow K_2 \hookrightarrow...\hookrightarrow K_n \hookrightarrow K_{n+1} \hookrightarrow ... $ telle que chaque polynôme à coefficients dans K_n possède une racine dans K_n+1.

En général la réunion d'une famille de corps n'est pas un corps, sauf s'il s'agit d'une famille croissante de corps emboîtés. Voir par exemple cette remarque pour les groupes.

Or ici la situation est un peu plus complexe dans la mesure où K_n n'est pas à proprement parler un sous-ensemble de K_n+1, mais s'identifie via un isomorphisme de corps à un sous-corps de K_n+1.

Nous allons fabriquer une 'limite inductive' ou encore 'colimite'. Pour cela nous allons disjoindre les K_i en posant K'_i=K_i×{i}. Puis nous prenons la réunion L' de tous les K'_i. Sur L' nous introduisons une relation binaire. Nous disons qu'un élément de K'_n est relié à un élément de K'_n+1 si entre leurs premières composantes se correspondent par l'injection $K_n \hookrightarrow K_{n+1}$. Nous construisons alors la plus petite relation d'équivalence compatible. Pour cette relation, les classes sont les suites (α_n,α_n+1, .....,) où chaque élément s'identifie avec son successeur. Nous désignons par L le quotient de ∪_i≥1K'_i par cette relation.

On a L≅K[X]/(P) de sorte que se donner un K-morphisme σ de L dans Ω revient à se donner un élément σ(α) dans Ω qui vérifie P(σ(α))=0.

Il y a donc autant de tels morphismes que de racines de P dans Ω, ou encore dans le sous-corps de Ω que ces racines engendrent; ce sous-corps est un corps de décomposition de P.

Lorsque l'extension L/K est finie, c'est une conséquence du lemme 1.

IL suffit, en effet, d'écrire L comme une succession d'extensions emboîtées :

$ K\hookrightarrow K(\alpha_1) \hookrightarrow K(\alpha_1,\alpha_2)\hookrightarrow ... \hookrightarrow K(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$

Il suffit donc d'appliquer à répétition le lemme 1.

Dans le cas général il faut appliquer le 'lemme de Zorn' équivalent à l'axiome du choix dans la théorie de Zermelo Fraenkel).

On considère l'ensemble $\wp $ des paires (M,σ) où M est un sous corps de K contenant L et $\sigma : M \hookrightarrow \Omega $ un prolongement à M de $\iota : K \hookrightarrow \Omega $.

$\wp$ est ordonné par la relation :

$(\wp , \leqslant)$ est inductif. En effet, si $(M_i,\sigma_i)$ est un sous-ensemble totalement ordonné de $\wp$, la réunion M=∪_iM_i est un sous-corps de L contenant K et on définit σ:M$\hookrightarrow$ Ω par σ|_Mi=σ_i .

La paire (M,σ) est alors dans $\wp$ est c'est un majorant de la famille (M_i,σ_i).

D'après le lemme de Zorn, il existe donc un élément maximal (M₀,σ₀) dans $\wp$ pour la relation $\leqslant$.

Puisque L est une extension algébrique de K, tout élément x de L est algébrique sur K, donc a fortiori sur M₀.

Mais alors le lemme 1 ci-dessus nous dit qu'on peut étendre σ₀ en un morphisme M₀(x)$\hookrightarrow $Ω.

Mais on a alors M₀(x)=M₀ sinon cela contredit la maximalité de M₀, c'est à dire x∈M₀.

Donc L=M₀ et ceci achève la démonstration du lemme 2.

Si $\iota :K \hookrightarrow \Omega $ et $\iota ' :K \hookrightarrow \Omega ' $ sont deux clôtures algébriques de K, ι' se prolonge en σ:Ω $\hookrightarrow $ Ω'.

Comme Ω est algébriquement clos il en est de même de σ(Ω).